If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Wenn du hinter einem Webfilter bist, stelle sicher, dass die Domänen *. kastatic.org und *. kasandbox.org nicht blockiert sind.

Hauptinhalt
Aktuelle Zeit:0:00Gesamtdauer:5:55

Lösungen für Ungleichungen mit Beträgen überprüfen

Video-Transkript

Wir haben hier drei Ungleichungen, die Beträge enthalten, und darunter haben wir potentielle Werte für x, und was ich in diesem Video tun will, ist, zu sehen, für welche dieser potentiellen Werte für x die Ungleichung gilt Also, fangen wir zuerst mit der grünen an, hier links. Sie sagt aus, dass der Betrag von x weniger ist als der Betrag von minus 7. Also, denken wir darüber nach, welcher dieser Werte für x dies wahr machen würde. Und bevor ich auch nur einen der x-Werte ausprobiere, sehen wir, ob wir die Ungleichung vereinfachen können. Die Sache, die vielleicht für dich offensichtlich ist, und die dich ermutigen könnte, diese Aufgabe alleine auszuprobieren bevor ich sie durcharbeite, was dich direkt anspringen könnte, ist, dass wir wissen, was der Betrag von -7 ist. Der Betrag von -7 ist, wie weit von 0 ist -7 auf dem Zahlenstrahl entfernt? Nun, es es 7 nach links. Die Distanz von -7 zu 0 ist 7, man könnte auch sagen, dass der Betrag jeder Zahl immer die nicht-negative Version der Zahl ist. Also ist das hier, der Betrag von -7, das ist einfach nur 7. Also wäre eine äquivalente Ungleichung, dass der Absolutwert von x weniger als 7 sein darf. Also sehen wir, ob das für x = -8 wahr ist. Wenn x = -8 dann schreiben wir -8 überall dort hin, wo wir ein "x" sehen. Also, ist der Betrag von -8 kleiner als 7? Ist das wahr? Nun, der Betrag von -8 ist ganz einfach 8, also, ist 8 kleiner als 7? Nein, es ist größer als 7. Also, x = -8 erfüllt nicht die Ungleichung. Was ist nun mit x = -2? Überall wo wir ein x sehen schreiben wir eine -2. Also muss der Betrag von -2 weniger sein als 7. Was ist der Betrag von -2? Es ist einfach nur +2. Ist +2 kleiner als 7? Natürlich 2 ist kleiner als 7. Also erfüllt x = -2 unsere Ungleichung. Der Betrag von -2 ist kleiner als der Betrag von -7. Und zuletzt, x = 6. Also ist der Betrag der Betrag von 6. Nochmal, überall wo ich x sehe schreibe ich die 6. x ist gleich 6. Wir sagen also, der Betrag von 6, ist der weniger als 7? Nun, der Betrag von 6 ist ganz einfach 6. 6 ist 6 Schritte von der 0 entfernt. Ist 6 weniger als 7? Ja, natürlich, 6 ist weniger als 7. Also, x = 6 und x = -2, beide Werte erfüllen die Ungleichung. Nun lasst uns die violette Aufgabe lösen. Und nochmal, ich schlage vor, dass du das Video pausierst und versuchst, die Aufgabe alleine zu lösen. Versuchen wir x = -4 Also, wenn x = -4, dann behaupten wir, dass der Betrag von -4 größer ist als 5. Betrag von -4, nun, das ist ganz einfach 4. Ist 4 größer als 5. Nein, 4 ist kleiner als 5. Also funktioniert das nicht. Nun versuchen wir x = 3 Überall, wo wir x seehen ersetzen wir es durch eine 3. Der Betrag von 3, ist der größer als 5? Betrag von 3 ist einfach 3, also ist 3 größer als 5? Nein, 3 ist kleiner als 5. Ich denke, du siehst es jetzt, hoffentlich bekommst du den Dreh raus. Also, zum letzten Wert, wenn x = - 9 Der Betrag von -9, der müsste größer als 5 sein. Betrag von -9, nun, das ist einfach 9. Also ist es einfach nur 9, und ist das größer als 5? Nun, natürlich, 9 ist größer als 5. Also erfüllt x = -9 die Ungleichung. Nun gut, lasst uns nun die Aufgabe in diesem hell-violetten Farbton machen. Der Betrag von x muss größer sein als -16. Also gibt es etwas sehr interessantes an dieser Aufgabe. Wir müssen uns nicht einmal die Werte für x anschauen. Kannst du dir irgendein x vorstellen, das die Ungleichung nicht erfüllen würde? Nun, denk einfach eine Weile darüber nach. Der Betrag einer Zahl, wird der Betrag jemals negativ. Nein, der Betrag einer Zahl ist immer 0 oder positiv. Er wird nicht-negativ sein. also ist das hier 0 oder positiv, wir könnten es auch nicht-negativ nennen. 0 oder positiv. Also wenn dieses Ding hier 0 oder positiv ist, etwas, das 0 oder größer ist, etwas das immer 0 oder positiv ist wird immer größer als eine negative Zahl sein. Also ist das eigentlich für alle Werte für x wahr. Wir müssen sie nicht einmal ausprobieren. Wir könnten sie ausprobieren, wir werden sie sogar ausprobieren, nur, damit du das siehst, aber es wird für jedes beliebige x gelten, denn wenn du den Betrag nimmst, wenn x = 0 dann wird er 0 sein, aber für jeden anderen Wert für x, für jeden Wert verschieden von 0, wird der Betrag von diesem Wert positiv sein. Und lasst uns einfach sehen, wir könnten hier jedes x einsetzen, und diese Aussage wäre wahr. Betrag von x = -15 Nun, der Betrag von -15 Ist der größer als -16? Nun, der Betrag von -15 ist +15 und natürlich ist +15 größer als -16 Eine positive Zahl ist immer größer als eine negative Zahl. Also ist die Ungleichung erfüllt. Wenn x = 3, Betrag von 3, ist der größer als -16? Oh, Entschuldigung, lasst mich das anders schreiben. Betrag von 3, ist der größer als -16? Natürlich der Betrag von 3 ist 3. Und 3 ist positiv, also wird es größer sein als jede negative Zahl. Also funktionert das. Und wie ich bereits gesagt habe, jedes x würde hier funktionieren. Und zuletzt, wenn x = 9, Nun, der Betrag von 9, wenn x = 9 Ist der größer als -16? Nun, natürlich, der Betrag ist einfach 9, Und der ist größer als -16. Sogar wenn x = 0, dann hätte man 0 größer -16, was definitiv wahr ist. Also funktioniert hier jedes x.