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Terme, Faktoren & Koeffizienten

In mathematischen Ausdrücken sind Terme die Komponenten, die addiert oder subtrahiert werden, Faktoren sind die Elemente, die innerhalb jedes Terms multipliziert werden, und Koeffizienten sind die Zahlen, die die Variablen multiplizieren. Das Verständnis dieser Konzepte ist entscheidend für eine effektive Kommunikation und das Lösen von Aufgaben in der Mathematik. Erstellt von Sal Khan

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Video-Transkript

In diesem Video beschäftigen wir uns mit dem Aufbau mathematischer Terme und mit Fachbegriffen, um ihre Bestandteile zu beschreiben. Das ist nützlich, um sich mit anderen Leuten darüber auszutauschen und sie zu verstehen, wenn sie z.B. sagen: "ich stimme Dir beim zweiten Termglied nicht zu", oder "der dritte Teilterm hat vier Faktoren", oder "warum ist der Koeffizient dieses Terms 6?". Überlegen wir uns also, was diese Begriffe bedeuten. In diesem Beispiel haben wir einen Term. Er setzt sich aus mehreren kleineren Teiltermen zusammen. Diese Teilterme (man kann sie ebenfalls als "Terme" bzw. "Termglieder" bezeichnen), das sind die Einzelteile, die untereinander addiert bzw. subtrahiert werden. In diesem Beispiel werden drei Dinge addiert oder subtrahiert: Zuerst haben wir 2 * 3. Dazu addieren wir 4. Und davon ziehen wir dann 7y ab. Dieser Beispielterm besteht also aus 3 Teiltermen: Der erste ist 2 * 3. Der zweite ist nur die Zahl 4. Und der dritte ist 7 * y Machen wir mit dem Begriff "Faktor" weiter. In diesem Zusammenhang sind damit die Werte gemeint, die innerhalb der Teilterme miteinander multipliziert werden. Lautet die Frage z.B.: "Was sind die Faktoren des ersten Teilterms?", dann ist damit dieses Stück gemeint: "2 * 3". Und das hat zwei Faktoren, die miteinander multipliziert werden, nämlich 2 und 3 Also haben wir zwei Faktoren im ersten Teilterm. Und im Zweiten? - Dieser hier - der zweite Teilterm hat nur einen Faktor, nämlich die 4. Sie wird mit nichts multipliziert. Und das dritte Termglied hat wieder zwei Faktoren, denn es ist das Produkt aus 7 mal y . Die beiden Faktoren sind also 7 und y. Und die 7, mit der die Variable multipliziert wird, ist ein konstanter Faktor. Deshalb hat sie eine spezielle Bezeichnung, und zwar "Koeffizient". Ein Koeffizient ist ein konstanter Wert, der mit dem Rest des Terms bzw. Teilterms multipliziert wird. In unserem Beispiel haben wir 7y, aber auch wenn es 7xy, 7xyz oder 7xyz^2 heißen würde, wäre die 7 ein Koeffizient, weil sie selbst keine Variable ist. Machen wir noch ein Paar Beispiele. Am besten pausierst du jeweils kurz, um erst selbst zu überlegen, was die Teilterme sind und wie viele es davon gibt, wie viele Faktoren jedes Termglied hat und was davon Koeffizienten sind. Sehen wir uns den ersten Term an. Es werden drei teile miteinander addiert. Das hier ist der erste Teilterm. Das hier ist der zweite und dieser hier ist der dritte. Jeder der Teilterme hatt zwei Faktoren: Der Erste hat die Faktoren 3 und x, der zweite hat die Faktoren x und y und der dritte hat y und z als Faktoren. Was sind davon nun Koeffizienten? Wir erinnern uns, dass Koeffizienten immer Konstanten sind, die mit Variablen multipliziert werden. Der Koeffizient des ersten Termglieds ist also 3. Wie sieht es aber jetzt mit den anderen Teiltermen aus? je nachdem, wie wir es betrachten, könnten wir sagen, dass xy das Gleiche ist wie 1 * xy. Manche würden also sagen, dass wir hier den Koeffzient 1 haben. Die 1 ist "implizit" vorhanden, das heißt eigentlich wird immer alles mit 1 multipliziert, aber wir schreiben es nicht extra auf. Das ganze ist aber ein wenig Interpretationssache. Dieser Term hier ist besonders interessant. Wenn wir das große Ganze betrachten, dann ist er eindeutig aus drei Termgliedern zusammengesetzt. Das erste wäre dann xyz, der zweite (x + 1) * y, und der dritte wäre 4x. Wenn wir uns auf dieser Ebene überlegen, wie viele Faktoren der erste Teilterm hat, wäre die Antwort "drei", nämlich x, y und z. Beim zweiten Teilterm könnten wir sagen, dass er zwei Faktoren hat: Der eine wäre (x + y) und der andere (y). Dieser kleinere Ausdruck (x + y) ist selbst einer der Faktoren. Und der andere ist das (y). Der dritte Teilterm hat ebenfalls zwei Faktoren, und zwar die 4 und das x. Und wenn jemand fragt, was der Koeffizient dieses Teilterms ist, wäre deine Antwort die 4. Noch eine Sache, bevor wir mit dem nächsten Term weitermachen: Besonders interessant an diesem Term ist, dass einer der Faktoren selbst einen kleinen Term darstellt. Wenn wir dieses Termglied hier gesondert betrachten, können wir es selbst als kleinen Term ansehen und wieder die Frage stellen: "aus wie vielen Teiltermen besteht der Term?" Es werden zwei Teile addiert, also besteht der Term aus zwei Termgliedern. Jeder davon hat genau einen Faktor. Manchmal haben wir es also mit verschachtelten Termen zu tun, und wenn wir über ihre Bestandteile sprechen, müssen wir deutlich machen, auf welche Ebene der Verschachtelung wir uns beziehen. Wenn wir über die Teilterme des gesamten Terms sprechen, dann sind es drei. Aber wenn wir nur diesen untergeordneten Term betrachten, welcher selbst nur ein Faktor des gesamten Terms ist, dann besteht dieser aus nur zwei Teiltermen. Machen wir mit dem nächsten Beispiel weiter. Wie viele Teilterme haben wir? Wie eben sind es wieder drei. Lass mich kurz einen weitern hinzufügen, denn dreigliedrige Terme werden mir langsam zu langweilig. Jetzt haben wir eindeutig vier Teilterme. Hier ist der erste, der zweite, der dritte und der vierte. Wie viele Faktoren sind in jedem davon? Das ist wieder interessant. Wir haben gesagt, dass die Faktoren die Teile sind, die miteinander multipliziert werden. Hier wird aber durch y geteilt. Wir erinnern uns, dass die Division duch y das gleiche ist, wie die Multiplikation mit dem Kehrwert von y. In der Regel würde man hier also sagen, dass der Teilterm 3 Faktoren hat: 3, x und 1/y. Wenn wir 3 mal x mal 1/y rechnen, ist das Ergebnis das gleiche wie bei dem, was hier steht. Hier würden wir also sagen, dass der Teilterm drei Faktoren hat. Und wenn jemand fragt, was der Koeffizient ist, wäre unsere Antwort die 3. Wie viele Faktoren haben wir hier? Das ist ein bisschen knifflig, denn man könnte sich zu Recht fragen: ist 5x^2 * y nicht das Gleiche wie 5 mal x mal x mal y? In dem Fall ist man vielleicht geneigt zu sagen, dass es vier Faktoren sind. Allerdings ist es Konvention, also die allgemein anerkannte Herangehensweise, den Exponenten mit (z.B.) x als Basis als nur einen Faktor anzusehen. Traditionell würde man hier also sagen, der Teilterm hat drei Faktoren, nämlich 5, x^2 und y. x^2 wird nur als ein Faktor gezählt. Und noch einmal - was ist der Koeffizient? Es ist die 5. Und wie viele Faktoren hat dieser Teilterm? Das sind wieder 3 - wir haben ein x, ein y^2 und ein z^5. Und zum Schluss haben wir noch diesen konstanten Teilterm. Wie Faktoren hat er? Nur einen - es ist nur eine 1, die mit nichts multipliziert wird.