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Kurs: 6. Klasse > Lerneinheit 11

Lektion 5: Herausfordernde Aufgaben zu Mittelwert und Median
Mathematik
6. Klasse
Daten und Statistik
Herausfordernde Aufgaben zu Mittelwert und Median
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Mittelwert als Gleichgewichtspunkt

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Untersuche, wie wir uns den Median als Gleichgewichtspunkt einer Datenverteilung vorstellen können.
Du weißt, wie man das arithmetische Mittel durch Addieren und Dividieren ermittelt. In diesem Artikel werden wir uns die Bedeutung des arithmetischen Mittels als Gleichgewichtspunkt anschauen!

Teil 1: Ermittle das arithmetische Mittel

Ermittle das arithmetische Mittel von {5,7}.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Ermittle das arithmetische Mittel von {5,6,7}.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Interessant! In den ersten beiden Aufgaben waren die Daten um die Zahl sechs "ausgewogen". Löse die nächste Aufgabe ohne die Summe auszurechnen oder zu dividieren. Überlege dir, wie die Zahlen rund um das arithmetische Mittel ausgewogen sein sollten.
Ermittle das arithmetische Mittel von {1,3,5}.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Beachte wie 1 und 5 auf beiden Seiten der 3 ausgewogen sind:
Ermittle das arithmetische Mittel von {4,7,10}.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Kannst du sehen, dass die Werte immer um das arithmetische Mittel herum ausgewogen sind? Lass uns noch eins versuchen!
Ermittle das arithmetische Mittel von {2,3,5,6}.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Teil 2: Eine neue Art über das arithmetische Mittel nachzudenken

Vielleicht hast im Teil 1 bemerkt, dass es bei einigen einfachen Datensätzen möglich ist, das arithmetische Mittel zu finden, ohne die Summe zu berechnen oder zu dividieren.
Wichtige Idee: Wir können uns das arithmetische Mittel als den Gleichgewichtspunkt vorstellen. Das ist eine schicke Art zu sagen, dass die Entfernung vom arithmetischen Mittel zu den Werten unter dem arithmetischen Mittel gleich der Entfernung zu den Werten über dem arithmetischen Mittel ist.

Beispiel

In Teil 1 hast du gelernt, dass das arithmetische Mittel von {2,3,5,6} gleich 4 ist. Wir können sehen, dass die gestamte Entfernung vom arithmetischen Mittel zu den Werten unter ihm genau so groß ist wie die Entfernung vom arithmetischen Mittel zu den Werten über ihm, da 1+2=1+2:

Fragen zum Nachdenken

Wie groß ist in diesem Beispiel die gesamte Entfernung unterhalb des arithmetischen Mittels?
Wähle eine Lösung.

Wie groß ist in diesem Beispiel die gesamte Entfernung oberhalb des arithmetischen Mittels?
Wähle eine Lösung.

Teil 3: Ist das arithmetische Mittel immer der ausgewogene Punkt?

Ja! Es ist immer so, dass die gesamte Entfernung unter dem arithmetischen Mittel gleich groß der gesamten Entfernung über dem arithmetischen Mittel ist. Es ist nur bei manchen Wertegruppen einfacher zu sehen als bei anderen.
Als Beispiel lass uns die Menge {2,3,6,9} betrachten.
So können wir das arithmetische Mittel berechnen:
2+3+6+94=5
Und wir können sehen, dass die gesamte Entfernung unter dem arithmetischen Mittel gleich der Gesamtentfernung über dem arithmetischen Mittel ist, da 2+3=1+4:

Teil 4: Übung

Aufgabe 1

Welche Linie repräsentiert das arithmetische Mittel der Datenpunkte im unteren Bild?
Wähle eine Lösung.

Aufgabe 2

Welche Linie repräsentiert das arithmetische Mittel der Datenpunkte im unteren Bild?
Wähle eine Lösung.

Challenge Aufgabe

Das arithmetische Mittel von 4 Werten ist 5. Drei von diesen Werten und das arithmetische Mittel sind unten aufgeführt.
Wähle den vierten Wert.
Wähle eine Lösung.

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