Auswirkungen des Erhöhens des Radius

Was ich in diesem Video tun möchte ist, darüber nachzudenken, wie sich der Umfang und die Fläche eines Kreises verändern, wenn wir den Radius verändern. Und im speziellen schauen wir uns an, was passiert, wenn wir den Radius verdoppeln. Schauen wir uns einen Kreis an. Das hier ist ein Kreis. Und sagen, der Radius ist x, egal von welcher Einheit. Dieser Abstand hier ist also x. Und dann stellen wir uns einen anderen Kreis vor, der 2 Mal diesen Radius hat. Sein Radius ist also 2x. Lass mich seinen Radius zeichnen - das sieht einigermassen genau aus. Das sind also 2x, der Radius dieses Kreises. Und so sieht der Kreis in etwa so aus. Das ist zumindest mein bester Freihand-Versuch. Lass uns jetzt schauen, was der Umfang beider Kreise ist und was ihre Flächen sind. Der Umfang jedes Kreises ist 2 Pi mal dem Radius. In diesem Fall ist der Umfang also - und ich benutze C für den Umfang - er ist gleich 2 Pi mal dem Radius welcher in diesem Fall x ist. Was ist nun der Umfang hier ? Naja, nochmal, der Umfang ist gleich 2 Pi mal dem Radius. Aber dieses Mal ist der Radius 2x. Also ist der Umfang gleich 2 mal Pi mal 2 mal x, was 2 mal 2 mal Pi mal x entspricht. Oder auch 4 Pi x. Wir sehen also, dass der Umfang zweimal so gross ist, wie dieser Umfang. Um von 2 Pi x nach 4 Pi x zu gelangen, müssen wir mit 2 mal nehmen. Die Verdopplung des Radius hat also den Umfang verdoppelt. Wie sieht es nun mit der Fläche aus? Und ich mache die Fläche in einer neuen Farbe. Wir wissen, dass die Fläche gleich Pi mal r Quadrat ist. In diesem Kreis hat der Radius die Länge x. Das ergibt also Pi mal x Quadrat. In diesem Kreis hier ist die Fläche gleich Pi mal r Quadrat. Aber jetzt ist der Radius 2x - also 2x Quadrat. Was ergibt das also ? Nun, unsere Fläche ist Pi mal 2x Quadrat, somit also 2x mal 2x, was dasselbe ist wie 4x Quadrat. Wir können das auch schreiben als 4 Pi mal x Quadrat. Beachte: dieses Mal hat sich die Fläche nicht um Faktor 2 vergrössert! Die Fläche wurde um Faktor 4 grösser als wir den Radius verdoppelt haben. Wie kommt das jetzt ? Halte das Video an und denke darüber nach. Nun, es ergibt sich direkt aus den Formeln für Umfang und Fläche. Erinnere Dich, der Umfang entspricht 2 Pi r - ich mache das mal in einer anderen Farbe - während die Fläche gleich Pi r Quadrat ist. Hier siehst Du also, dass die Fläche proportional zum Quadrat des Radius' ist. Wenn Du also den Radius verdoppelst, vervierfacht sich die Fläche. Wenn Du den Radius verdreifachst, vergrössert sich die Fläche um den Faktor 9. Wenn Du den Radius vervierfachst, dann wird sich Deine Fläche um den Faktor 4 Quadrat oder 16 erhöhen. Hingegen beim Umfang: egal mit welchem Faktor Du den Radius vergrösserst, der Umfang steigt immer um denselben Faktor. Und wenn Du mir nicht glaubst - wir haben es gerade hier gezeigt, mit Hilfe von einem bisschen Algebra. Aber Du kannst es gern versuchen, mit beliebigen Zahlen.