Mathematische Muster: Zahnstocher

Ich erstelle kleine Stadthäuser mit Zahnstochern. Das wäre also unser erstes Stadthaus. Ich habe soweit 3 Zahnstocher benutzt. Jetzt sind es 4...5...6. Das ist also mein erstes Stadthaus. Hier nun eine Tabelle, um Dinge zu notieren. Ich mache das in weisser Farbe. Das ist meine Tabelle. Hier haben wir die Spalte "Anzahl Häuser". Und hier die Spalte der Anzahl Zahnstocher, die ich für das Haus benötige. Dieses erste Haus hier benötigt 6 Zahnstocher. 1...2...3...4...5...6. Erstellen wir nun ein zweites Haus. Es handelt sich um Stadthäuser (Anbauten). Denn sie haben gemeinsame Wände. Ich benötige 1...2...3...4...5 Zahnstocher für mein zweites Haus. Wieso jetzt aber nur 5 und nicht deren 6? Nun, weil die zwei Häuser eine Wand teilen. Deshalb muss für diese Wand kein weiterer Zahnstocher verwendet werden. Da wir schon ein Haus hatten, müssen wir für das zweite Haus nur 5 Zahnstocher aufwenden. Ich musste 5 Zahnstocher nehmen, um nun auf gesamthaft 11 für beide Häuser zu kommen. Ich nehme an, du weisst, wie das nun weitergeht. Wie sieht es mit drei Häusern aus? Nun, wir müssen 5 weitere Zahnstocher nehmen. 1...2...3...4...5 Zahnstocher. Wir fügen weitere 5 Zahnstocher hinzu, um auf 16 zu gelangen. Lass uns noch ein viertes Haus anbauen. Für Haus Nr. 4 müssen wir erneut 5 Zahnstocher nehmen. 1...2...3...4...5. Mit dem vierten Haus haben wir 5 weitere Zahnstocher genommen und haben total nun 21. Gibt es nun ein Zahlenmuster, anhand dessen wir rasch herausfinden können, wie viel es für 50 dieser Stadthäuser benötigen würde? Oder warum nicht für 500 dieser Häuser. Oder auch 5000? Wir müssen nun auf dieses Muster schauen, um herauszufinden, ob wir hier jeweils eine Gleichung für die Werte machen können. Wir sehen ja bereits ein Zahlenmuster. Wir haben ja mit 6 begonnen und dann immer dann 5 dazugezählt, wenn wir ein neues Haus erstellten. Mit dem zweiten Haus kommen 5 hinzu. Für das dritte Haus (wir begannen mit 6) müssen wir zwei Mal 5 addieren. Für das vierte Haus (wir begannen mit 6) müssen wir drei Mal 5 addieren. Lass es uns hinschreiben. 21 ist gleich (wir begannen mit 6)... Dann addieren wir 5 drei Mal, also 21 = 6 + 5(3). Als wir 3 Häuser hatten (wir begannen mit 6)... Dann addierten wir 5 zwei Mal. Ich schreibe es in derselben Farbe. Wir addierten also 5 zwei Mal. Also 16 = 6 + 5(2). Als wir 2 Häuser hatten, wir begannen mit 6... Dies ist gleich 6, plus ein Mal 5, also 21 = 6 + 5(1). Als wir 1 Haus hatten... Da hatten wir 6 Streichhölzer. Wie viel Mal addierten wir 5? Nun, gar nicht. Man kann sagen, dass wir 0 Mal die 5 addierten. Vielleicht erkennst du das Muster hier. Wie viel Häuser du auch hast, man benötigt eines weniger als das und multipliziert es mit 5, worauf man 6 addiert. Somit erhält man die Anzahl Streichhölzer. Lass es mich erneut hinschreiben. Ich kann das als 6 + 5(4 - 1) schreiben. Dies hier als 6 + 5(3 - 1). Dies hier als 6 + 5(2 - 1). Und dies hier als 6 + 5(1 - 1). Vielleicht macht dies das Muster ein wenig deutlicher. Diese 4 ist hier drüben. Diese 3 ist hier drüben. Diese 2 ist da drüben. Und diese 1 haben wir hier drüben. Nun, so denke ich, können wir darüber nachdenken, wie es bei 50 Häusern aussehen würde. Lass es uns versuchen. Ich schreibe das in Orange. Dies hier wäre unser 50. Haus. Das hier ist die Wand, die es teilt. Dies hier drüben ist das 50. Haus. Wie viele Streichhölzer benötigt es für 50 Häuser? Wir können nun auch bei 50 Häusern auf unser Zahlenmuster zurückgreifen. Das werden dann...Wir beginnen mit 6. Das erste Haus benötigte 6 Streichhölzer. Und dann addieren wir 5 für jede Anbaute, also plus 5 für jedes zusätzliche Haus. Und wie viele dieser zusätzlichen Häuser sind es? Nun, es sind 50 minus 1 zusätzliche Häuser. Warum minus 1? Weil wir eines davon bereits mit 6 gebaut hatten. Dann für jedes zusätzliche, also 49 Häuser, müssen wir 5 Streichhözer jeweils aufwenden. Wir rechnen somit 6 + 5(49). 5 mal 49 ist 245. 6 + 245 ist gleich 251 Streichhölzer. Und das Gute an diesem Zahlenmuster ist nun, dass wir es auch für die Berechnung der Anzahl Streichhölzer für eine Million dieser Häuser anwenden können.