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8. Klasse

Kurs: 8. Klasse > Lerneinheit 2

Lektion 2: Gleichungen mit Klammern
Mathematik
8. Klasse
Gleichungen mit einer Unbekannten lösen
Gleichungen mit Klammern
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Mehrschrittige Gleichungen - Wiederholung

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Um eine Gleichung zu lösen, ermitteln wir den Wert der Variable, der die Gleichung wahr macht. Bei komplizierteren, ausgefalleneren Gleichungen kann der Prozess mehrere Schritte erfordern.
Wenn wir eine Gleichung lösen, ist es unser Ziel den Wert der Variable zu ermitteln, der die Gleichung wahr macht.

Beispiel 1: Zweischrittige Gleichung

Löse nach x auf.
3, x, plus, 7, equals, 13
Wir müssen die Gleichung so verändern, dass x alleine steht.
3x+7=133x+7−7=13−73x=63x3=63x=2\begin{aligned} 3x+7&=13 \\\\ 3x+7\redD{-7}&=13\redD{-7} \\\\ 3x&=6 \\\\ \dfrac{3x}{\redD{3}}&=\dfrac{6}{\redD{3}} \\\\ x&=2 \end{aligned}
Wir nennen dies eine zweischrittige Gleichung weil wir zwei Schritte benötigten um sie zu lösen. Der erste Schritt war 7 von beiden Seiten zu subtrahieren, und der zweite Schritt war, beide Seiten der Gleichung durch 3 zu dividieren. Willst du eine Erklärung, warum wir das Gleiche auf beiden Seiten der Gleichung machen ? Schau dir dieses Video an.
Wir prüfen die Lösung, indem wir start color #e84d39, 2, end color #e84d39 zurück in die ursprüngliche Gleichung einsetzen:
3x+7=133⋅2+7=?136+7=?1313=13       Ja!\begin{aligned} 3x+7&=13 \\\\ 3\cdot \redD 2 + 7 &\stackrel?= 13 \\\\ 6+7 &\stackrel?= 13 \\\\ 13 &= 13 ~~~~~~~\text{Ja!} \end{aligned}

Beispiel 2: Variablen auf beiden Seiten

Löse nach a auf.
5, plus, 14, a, equals, 9, a, minus, 5
Wir müssen die Gleichung so verändern, dass a alleine steht.
5+14a=9a−55+14a−9a=9a−5−9a5+5a=−55+5a−5=−5−55a=−105a5=−105a=−2\begin{aligned} 5 + 14a &= 9a - 5 \\\\ 5 + 14a \blueD{- 9a} &= 9a - 5 \blueD{- 9a} \\\\ 5 + 5a &= -5 \\\\ 5 + 5a \blueD{-5} &= -5 \blueD{- 5}\\\\ 5a &= -10\\\\ \dfrac{5a}{\blueD5} &= \dfrac{-10}{\blueD5} \\\\ a &= \blueD{-2} \end{aligned}
Die Antwort:
a, equals, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd
Prüfe unsere Arbeit:
5+14a=9a−55+14(−2)=?9(−2)−55+(−28)=?−18−5−23=−23       Ja!\begin{aligned} 5 + 14a &= 9a - 5 \\\\ 5 + 14(\blueD{-2}) &\stackrel?= 9(\blueD{-2}) - 5 \\\\ 5 + (-28) &\stackrel?= -18 - 5 \\\\ -23 &= -23 ~~~~~~~\text{Ja!} \end{aligned}
Willst du mehr über das Lösen von Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten erfahren? Schau dir dieses Video an.

Beispiel 3: Distributivgesetz

Löse nach e auf.
7, left parenthesis, 2, e, minus, 1, right parenthesis, minus, 11, equals, 6, plus, 6, e
Wir müssen die Gleichung so verändern, dass e alleine steht.
7(2e−1)−11=6+6e14e−7−11=6+6e14e−18=6+6e14e−18−6e=6+6e−6e8e−18=68e−18+18=6+188e=248e8=248e=3\begin{aligned} 7(2e-1)-11 &= 6+6e \\\\ 14e-7 -11&= 6+6e\\\\ 14e-18 &= 6+6e\\\\ 14e-18\purpleD{-6e} &= 6+6e\purpleD{-6e} \\\\ 8e-18&=6\\\\ 8e-18\purpleD{+18} &=6 \purpleD{+18} \\\\ 8e &=24\\\\ \dfrac{8e}{\purpleD{8}}&= \dfrac{24}{\purpleD{8}}\\\\ e &= \purpleD{3} \end{aligned}
Die Antwort:
e, equals, start color #7854ab, 3, end color #7854ab
Prüfe unsere Arbeit:
7(2e−1)−11=6+6e7(2(3)−1)−11=?6+6(3)7(6−1)−11=?6+187(5)−11=?2435−11=?2424=24       Ja!\begin{aligned} 7(2e-1)-11 &= 6+6e \\\\ 7(2(\purpleD{3})-1) -11&\stackrel?= 6+6(\purpleD{3}) \\\\ 7(6-1)-11 &\stackrel?= 6+18 \\\\ 7(5)-11&\stackrel?=24 \\\\ 35-11&\stackrel?=24 \\\\ 24 &=24 ~~~~~~~\text{Ja!} \end{aligned}
Willst du mehr über das Lösen von Gleichungen mit dem Distributivgesetz erfahren? Schau dir dieses Video an.

Übung

Aufgabe 1
  • Aktuell
Löse nach b auf.
4, b, plus, 5, equals, 1, plus, 5, b
b, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

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