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Lasst uns ein paar Beispielaufgaben rechnen, um besser im Umgang bei Division und Multiplikation von Lasst uns ein paar Beispielaufgaben rechnen, um besser im Umgang bei Division und Multiplikation von positiven und negativen Zahlen zu werden. positiven und negativen Zahlen zu werden. Wie immer, versucht bitte zunächst, es selbst zu versuchen, bevor ich die Aufgabe vorrechne. Wie immer, versucht bitte zunächst, es selbst zu versuchen, bevor ich die Aufgabe vorrechne. 1. Aufgabe: "Wie ist das Vorzeichen wenn wir haben: s hoch 67 / t hoch 9 geteilt durch (3s mal s/4t), 1. Aufgabe: "Wie ist das Vorzeichen wenn wir haben: s hoch 67 / t hoch 9 geteilt durch (3s mal s/4t), 1. Aufgabe: "Wie ist das Vorzeichen wenn wir haben: s hoch 67 / t hoch 9 geteilt durch (3s mal s/4t), wenn s < 0 und t > 0 ist? Interessant hier ist s < 0, s ist negativ. Interessant hier ist s < 0, s ist negativ. S als negative Zahl, hoch 67. S als negative Zahl, hoch 67. Wenn wir uns erinnern, eine negative Zahl multpliziert mit einer ungeraden Anzahl von Zahlen, die miteinander Wenn wir uns erinnern, eine negative Zahl multpliziert mit einer ungeraden Anzahl von Zahlen, die miteinander multipliziert werden, erhält man eine negative Zahl. multipliziert werden, erhält man eine negative Zahl. multipliziert werden, erhält man eine negative Zahl. s hoch 67, also s mal s mal s mal s... und das 67 mal, also 67 s´e, s hoch 67, also s mal s mal s mal s... und das 67 mal, also 67 s´e, s hoch 67, also s mal s mal s mal s... und das 67 mal, also 67 s´e, und man multipliziert sie alle zusammen. Man hat also eine ungerade Anzahl s´e, eine ungerade Anzahl negativer Zahlen, die man miteinander multipliziert. Man hat also eine ungerade Anzahl s´e, eine ungerade Anzahl negativer Zahlen, die man miteinander multipliziert. Man hat also eine ungerade Anzahl s´e, eine ungerade Anzahl negativer Zahlen, Man hat also eine ungerade Anzahl s´e, eine ungerade Anzahl negativer Zahlen, welche man miteinander multipliziert. Das heißt, das Produkt ist negativ, so wie das hier. Das heißt, das Produkt ist negativ, so wie das hier. Was ist t hoch 9? t ist eine positive Zahl, das ist vorgegeben. Laut Angabe ist t > 0. Eine positive Zahl, egal zu welcher Potenz, ob gerade oder ungerade, bleibt stets positiv. Eine positive Zahl, egal zu welcher Potenz, ob gerade oder ungerade, bleibt stets positiv. Eine positive Zahl, egal zu welcher Potenz, ob gerade oder ungerade, bleibt stets positiv. So auch hier t hoch 9, positiv. So auch hier t hoch 9, positiv. Was ist jetzt minus geteilt durch plus? Minus geteilt durch plus ergibt minus. Minus geteilt durch plus ergibt minus. Das haben wir vorhin schon gesehen. Dieser ganze Ausdruck hier eingekreist, ist negativ. Dieser ganze Ausdruck hier eingekreist, ist negativ. Damit das nicht zu kompliziert wird, forme ich es um. Damit das nicht zu kompliziert wird, forme ich es um. Das hier ist grob ausgedrückt eine negative Zahl Das hier ist grob ausgedrückt eine negative Zahl Das hier ist grob ausgedrückt eine negative Zahl geteilt durch (3s mal s/4t). geteilt durch (3s mal s/4t). Was ist das in Klammern? Was is s/4t? Positiv oder negativ? Was is s/4t? Positiv oder negativ? Wir wissen, dass s negativ ist. t ist positiv, also 4 mal t ist auch positiv. Das hier ist also positiv. Negativ geteilt durch positiv, das wird negativ. Negativ geteilt durch positiv, das wird negativ. Vereinfachen wir das ebenfalls. All das hier, s/4t, kann man ersetzen durch eine negative Zahl. All das hier, s/4t, kann man ersetzen durch eine negative Zahl. Also mal negativ, mal eine weitere negative Zahl. Was ist nun 3s? s ist negativ, also ist 3 s auch negativ. 3s ist negativ, damit haben wir negativ mal negativ, das wird zu positiv. 3s ist negativ, damit haben wir negativ mal negativ, das wird zu positiv. 3s ist negativ, damit haben wir negativ mal negativ, das wird zu positiv. Alles das hier ist also positiv. Alles das hier ist also positiv. Man kann es auch so machen: Negativ mal negativ, also positiv, und dann wiederum durch etwas positives geteilt, ergibt wieder positiv. Negativ mal negativ, also positiv, und dann wiederum durch etwas positives geteilt, ergibt wieder positiv. Negativ mal negativ, also positiv, und dann wiederum durch etwas positives geteilt, ergibt wieder positiv. All das hier, das hier ist positiv, das hier ist positiv, das alles hier ist negativ, das positiv. Man hat negativ geteilt durch positiv, also wieder negativ. Man hat negativ geteilt durch positiv, also wieder negativ. Das Vorzeichen dieses komplizierten Ausdrucks hier ist negativ, wenn s < 0 und t < 0 ist. Das Vorzeichen dieses komplizierten Ausdrucks hier ist negativ, wenn s < 0 und t < 0 ist. Das Vorzeichen dieses komplizierten Ausdrucks hier ist negativ, wenn s < 0 und t < 0 ist. Das macht Spaß, machen wir weiter. Das macht Spaß, machen wir weiter. Wie ist das Vorzeichen bei: (p mal q/p) mal 4 2/7, bei p > 0 und q = 0? Wie ist das Vorzeichen bei: (p mal q/p) mal 4 2/7, bei p > 0 und q = 0? Wie ist das Vorzeichen bei: (p mal q/p) mal 4 2/7, bei p > 0 und q = 0? Die Art, wie ich betont habe, dass q = 0 ist, sollte ein eindeutiger Hinweis sein. Die Art, wie ich betont habe, dass q = 0 ist, sollte ein eindeutiger Hinweis sein. Ich gebe euch einen weiteren Hinweis. Pausiert das Video und denkt darüber nach, was ich mit q = 0 meine und was das für die Aufgabe bedeutet. Pausiert das Video und denkt darüber nach, was ich mit q = 0 meine und was das für die Aufgabe bedeutet. Dann löst ihr die Aufgabe in weniger als einer Sekunde. Wie geht das? Wie geht das? Ihr habt einen Haufen Zahlen, dann multipliziert ihr diese irgendwann mit 0, also wird alles am Ende 0. Ihr habt einen Haufen Zahlen, dann multipliziert ihr diese irgendwann mit 0, also wird alles am Ende 0. Ihr habt einen Haufen Zahlen, dann multipliziert ihr diese irgendwann mit 0, also wird alles am Ende 0. Ich könnte auch a mal b mal c mal d... rechnen, einen Haufen Zahlen miteinander multiplizieren. Ich könnte auch a mal b mal c mal d... rechnen, einen Haufen Zahlen miteinander multiplizieren. Wenn ich wüsste, dass eine dieser Zahlen 0 ist, dann ist das auch ganze Produkt gleich 0. Wenn ich wüsste, dass eine dieser Zahlen 0 ist, dann ist das auch ganze Produkt gleich 0. Wir wissen, dass c = 0 ist, ich kann a mit b und d multiplizieren, erhalte eine Zahl, diese multipliziere Wir wissen, dass c = 0 ist, ich kann a mit b und d multiplizieren, erhalte eine Zahl, diese multipliziere ich mit c und erhalte 0, denn: Irgendeine Zahl mal 0 ist immer 0. ich mit c und erhalte 0, denn: Irgendeine Zahl mal 0 ist immer 0. q ist 0 und steht hier. Ich kann also p durch p rechnen, das ist 1. 1 mal q, das wird einfach 0, da 1 mal 0 gleich 0. 1 mal q, das wird einfach 0, da 1 mal 0 gleich 0. 0 mal 4 2/7, das bleibt wieder alles 0. 0 mal 4 2/7, das bleibt wieder alles 0. Der Schlüssel hierzu ist diese 0 hier. An einem gewissen Punkt multipliziert man dieses ganze Produkt mit 0, also wird das alles hier 0. An einem gewissen Punkt multipliziert man dieses ganze Produkt mit 0, also wird das alles hier 0. An einem gewissen Punkt multipliziert man dieses ganze Produkt mit 0, also wird das alles hier 0. An einem gewissen Punkt multipliziert man dieses ganze Produkt mit 0, also wird das alles hier 0. An einem gewissen Punkt multipliziert man dieses ganze Produkt mit 0, also wird das alles hier 0. Bei dieser Aufgabe haben wir also gar kein Vorzeichen, es ist einfach 0, weder minus noch plus. Bei dieser Aufgabe haben wir also gar kein Vorzeichen, es ist einfach 0, weder minus noch plus. Bei dieser Aufgabe haben wir also gar kein Vorzeichen, es ist einfach 0, weder minus noch plus. Noch eine Aufgabe. Wie ist das Vorzeichen bei: -3/4 mal (-a hoch 4 /3), wenn a < 0 ist? Wie ist das Vorzeichen bei: -3/4 mal (-a hoch 4 /3), wenn a < 0 ist? Wie ist das Vorzeichen bei: -3/4 mal (-a hoch 4 /3), wenn a < 0 ist? a ist also negativ vorgegeben. a ist also negativ vorgegeben. Ich nehme eine deutlichere Farbe. Hier haben wir eine negative Zahl hoch 4. Hier haben wir eine negative Zahl hoch 4. Also a mal a mal a mal. Wir haben gesagt: Multipliziert man eine ungerade Anzahl negativer Zahlen miteinander, wird es positiv. Wir haben gesagt: Multipliziert man eine ungerade Anzahl negativer Zahlen miteinander, wird es positiv. Wir haben gesagt: Multipliziert man eine ungerade Anzahl negativer Zahlen miteinander, wird es positiv. Das kann man hier oben sehen, alles negative Zahlen, aber negativ mal negativ wird zu einer positiven Zahl. alles negative Zahlen, aber negativ mal negativ wird zu einer positiven Zahl. Negativ mal negativ, das ist die 3. und 4. Zahl hier, das wird wieder positiv. Negativ mal negativ, das ist die 3. und 4. Zahl hier, das wird wieder positiv. Positiv mal positiv wird zu einer positiven Zahl. Das alles hier ist positiv, obwohl jede dieser Zahlen negativ ist. Das alles hier ist positiv, obwohl jede dieser Zahlen negativ ist. Negativ mal negativ bzw. a mal a ist positiv, Negativ mal negativ bzw. a mal a ist positiv, mal a ist negativ, und dann wieder mal a, wird letztlich wieder positiv. und dann wieder mal a, wird letztlich wieder positiv. a hoch 4 ist dann also positiv. Aber dann steht hier noch das negative Vorzeichen. Also das negative von positiv a, geteilt durch positiv. Also das negative von positiv a, geteilt durch positiv. Das markierte hier ist positiv, aber dann haben wir noch dieses minus davor. Das markierte hier ist positiv, aber dann haben wir noch dieses minus davor. Das markierte hier ist positiv, aber dann haben wir noch dieses minus davor. Also ist alles innerhalb dieser Klammer negativ. Also ist alles innerhalb dieser Klammer negativ. Dann haben wir -3/4, negativ mal negativ, dass heißt alles hier wird positiv. Dann haben wir -3/4, negativ mal negativ, dass heißt alles hier wird positiv. Dann haben wir -3/4, negativ mal negativ, dass heißt alles hier wird positiv. Also ist die Lösung der Aufgabe: Positives Vorzeichen. Also ist die Lösung der Aufgabe: Positives Vorzeichen. Noch eine Aufgabe, es macht mir zu viel Spaß. Wie ist das Vorzeichen bei: x hoch 59 /2,3x mal 4/5, wenn x < 0 ist? Wie ist das Vorzeichen bei: x hoch 59 /2,3x mal 4/5, wenn x < 0 ist? Wie ist das Vorzeichen bei: x hoch 59 /2,3x mal 4/5, wenn x < 0 ist? x ist hier wieder eine negative Zahl. x hoch 59, das ist eine ungerade Anzahl von negativen Zahlen, die miteinander multipliziert werden. x hoch 59, das ist eine ungerade Anzahl von negativen Zahlen, die miteinander multipliziert werden. Das hier ist also zuerst mal negativ. Das hier ist also zuerst mal negativ. Das x hier ist ebenfalls negativ. 2,3 mal diesem x, das ist dann auch wieder negativ. 2,3 mal diesem x, das ist dann auch wieder negativ. 2,3 mal diesem x, das ist dann auch wieder negativ. Negativ geteilt durch negativ ist positiv. Der ganze Ausdruck hier ist also positiv. Positiv mal positiv ist positiv. Positiv mal positiv ist positiv. Also ist der gesamte Ausdruck hier positiv. Noch eine Aufgabe, tut mir leid, ich kann einfach nicht damit aufhören. Wie ist das Vorzeichen bei: -x mal (y geteilt durch 7/8)? Hier geben sie uns einen Zahlenstrahl, auf dem x und y aufgetragen sind. Die Folgerung hieraus ist, dass x positiv (rechts von 0) und y negativ (links von 0) ist. Die Folgerung hieraus ist, dass x positiv (rechts von 0) und y negativ (links von 0) ist. Was bedeutet das? x ist positiv, aber mit dem negativen Vorzeichen wird es insgesamt negativ. x ist positiv, aber mit dem negativen Vorzeichen wird es insgesamt negativ. x ist also positiv, aber -x ist negativ. Man stellt ein negatives Vorzeichen vor eine positive Zahl, dadruch wird sie zu einer negativen Zahl. Man stellt ein negatives Vorzeichen vor eine positive Zahl, dadruch wird sie zu einer negativen Zahl. Was ist y geteilt durch 7/8? y ist eine negative Zahl. Ich teile es durch eine positive Zahl. Eine negative Zahl geteilt durch eine positive Zahl ist also eine negative Zahl. Eine negative Zahl geteilt durch eine positive Zahl ist also eine negative Zahl. Der ganze Ausdruck hier ist dann also negativ. Der ganze Ausdruck hier ist dann also negativ. Dann haben wir eine negative Zahl mal eine andere negative Zahl, das wird dann wieder positiv. Dann haben wir eine negative Zahl mal eine andere negative Zahl, das wird dann wieder positiv. Dann haben wir eine negative Zahl mal eine andere negative Zahl, das wird dann wieder positiv. Das alles hier ist also positiv.