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Umrechnen periodischer Dezimalzahlen in Brüche (Teil 1 von 2)

Video-Transkript

In diesem Video möchte ich erklären, wie wir periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln können. Nehmen wir uns also eine periodische Dezimalzahl Sagen wir wir haben 0,7 periodisch. Und manchmal wird das so geschrieben, was einfach bedeutet, dass sich die 7 dauernd wiederholt. Das heißt, das ist dasselbe wie 0,7777.... und ich könnte hier einfach immer weiter Siebenen dazuschreiben, unendlich viele. Der Trick beim Umformen dieser Ausdrücke in Brüche ist, sie unbedingt einer Variable gleichzusetzen. Wie das geht werde ich jetzt Schritt für Schritt zeigen. Setzen wir das hier also einer Variable gleich Wir nennen das hier x. x ist also gleich 0,7 periodisch, das heißt, die Sieben wiederholt sich immer wieder Was wären nun also 10x? Na gut, denken wir mal drüber nach 10x 10x sind einfach 10 Mal das hier Und wir können uns das gleich hier überlegen. Wenn wir es mit 10 multiplizieren, würden wir das Komma um eine Stelle nach rechts verschieben. Es wäre also 7,777 und so weiter und so fort. Wir könnten aber auch 7,7 periodisch dazu sagen. Nun hier der Trick. Wir setzen das hier gleich Wir wissen was x ist. x ist 0,777 mit der sich dauernd wiederholenden 7. 10x ist das hier. Und hier wiederholt sich die 7 genau so. Um diese sich wiederholenden Nachkommastellen loszuwerden müssen wir x von 10x subtrahieren. Oder? Weil x hat alle diese 0,7777 Wenn du diese von 7,7777 subtrahierst, bleibt danach nur noch 7 übrig. Also lass uns das so machen Lass mich das hier nochmal schreiben, damit es schöner aussieht. 10x ist gleich 7.7 periodisch, was gleich 7,777... und so weiter und so fort ist. Und, wie wir vorher festgelegt haben, ist x gleich 0,7 periodisch, was gleich 0,777...und so weiter ist gleich 0,7 periodisch, was gleich 0,777...und so weiter ist Was passiert nun wenn wir x von 10x subtrahieren? Also wenn wir das Gelbe vom Grünen subtrahieren Naja, einfach 10 Mal etwas minus 1 Mal das selbe etwas. es wird einfach nur 9 Mal dieses etwas übrig bleiben es wird einfach nur 9 Mal dieses etwas übrig bleiben Was ist nun 7,7777... minus 7,7777... mit unendlich vielen nachkommenden Siebenen? Nun, das wird 7 sein. Dieser ganze Teil hebt sich auf und übrig bleibt die 7. Oder man könnte auch sagen, diese beiden Teile heben sich auf und übrig bleibt die 7. Und darum kommt 9x gleich 7 heraus. Um also nach x zu lösen, dividieren wir einfach beide Seiten durch 9 Um also nach x zu lösen, dividieren wir einfach beide Seiten durch 9 Ich könnte auch alle drei Seiten durch 9 dividieren, diese beiden sind ja das gleiche. Ich könnte auch alle drei Seiten durch 9 dividieren, diese beiden sind ja das gleiche. Und wir bekommen x = 7/9 Lass uns noch eins machen! Ich werde das hier stehen lassen als Hilfe. Sagen wir also wir haben 1,2 periodisch Das ist das selbe wie 1,2222... und so weiter. Wo immer der Balken drüber steht, ist das, was sich immer wieder bis ins Unendliche wiederholt Also machen wir es so wie vorher, setzen wir das hier gleich x. Und das hier ist 10x. Multiplizieren wir das mit 10. x ist also gleich 12,2 periodisch was das selbe ist wie 12,222... und so weiter Jetzt können wir x von 10x subtrahieren. Und wir müssen es nicht nochmal schreiben, aber hier ist es besser so, damit es nicht zu verwirrend wird x ist also 1,2 periodisch Subtrahieren wir also x von 10x, was bekommen wir dann? Auf der linken Seite haben wir 10x minus x = 9x. Und das hier, naja, die sich wiederholenden Teile heben sich gegenseitig auf... Und das hier, naja, die sich wiederholenden Teile heben sich gegenseitig auf... Das hier kürzt sich damit. 0,2 periodisch minus 0,2 periodisch ergibt einfach einen Haufen Nullen. Also ergibt sich 12-1=11 Also haben wir 9x = 11 Wenn wir nun beide Seiten durch 9 dividieren, bekommen wir x = 11/9.