Kategorisierung von Zahlen

Hier haben wir eine Reihe von Zahlen aufgelistet und das Ziel des Videos ist es, sie unterschiedlich zu kategorisieren und das Ziel des Videos ist es, sie unterschiedlich zu kategorisieren Stellen wir die Kategorien mal dar. Dieser Kreis hier steht für alle Zahlen, die als Bruch zweier ganzer Zahlen steht, und natürlicherweise kann der Nenner nicht gleich 0 sein, da wir nicht wissen, und natürlicherweise kann der Nenner nicht gleich 0 sein, da wir nicht wissen, was es bedeutet, eine 0 in den Nenner zu bringen. Diese Zahlen nennen wir also... Diese Zahlen nennen wir also... Diese Zahlen können als Bruch zweier ganzer Zahlen, den Rationalen Zahlen, dargestellt werden. Diese Zahlen können als Fraktion zweier ganzer Zahlen, den Rationalen Zahlen, dargestellt werden. Rationale Zahlen. Wenn nun etwas nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann, nennen wir sie Irrationale Zahlen. Irrationale Zahlen. Irrationale Zahlen. Die Größe der Kreise zeigt nicht, wie groß deren Menge sind. Es gibt eigentlich unendlich viele Rationale und Irrationale Zahlen. Das sind also die Irrationalen Zahlen. "Irrational". Diese können also nicht als BruchFraktion zweier Ganzer Zahlen dargestellt werden. Diese können also nicht als Fraktion zweier Ganzer Zahlen dargestellt werden Und innerhalb der Rationalen Zahlen, hat man wiederum ganze Zahlen selbst. Das mache ich in blau. Ganze Zahlen. Ganze Zahlen sind Zahlen, die nicht als Bruch oder einer Dezimalen repräsentiert werden können. Diese hier sind also Ganze Zahlen. Ganze Zahlen. Eine Teilmenge von ganzen Zahlen sind Natürliche Zahlen. Wenn man also nicht-negative Zahlen sagt, spricht man von Natürlichen Zahlen. Das wäre die Teilmenge hier. Das wären also die Natürlichen Zahlen. Also, Natürliche Zahlen. Schreiben wir sie aus. Am besten alle. Rationale... Machen wir´s in derselben Farbe. Rationale Zahlen. Und, natürlich, Irrationale Zahlen. Irrationale Zahlen. Ein Integer. Man könnte sagen "Das ist ein Integer." Man könnte sagen "Das ist ein Integer." Aber ich würde nicht sagen "Denkt über Rationale nach". Eher: "Denkt über Rationale Zahlen nach". Nun, da wir die Kategorien veranschaulicht haben, kategorisieren wir die Zahlen. Nun, da wir die Kategorien veranschaulicht haben, kategorisieren wir die Zahlen. Wie immer Video pausieren. Schaut, ob ihr wisst, in welche Kategorie diese Zahlen fallen. Schaut, ob ihr wisst, in welche Kategorie diese Zahlen fallen. Wo würdet ihr sie in dem Diagramm platzieren? Beginnen wir mit 3. Plus 3. Das kann sicher als Bruch dargestellt werden. Zum Beispiel als 3/1. Es muss aber kein Bruch sein. Es könnte einfach eine 3 wie hier sein oder aber auch nicht-negativ. 3 ist also eine Natürliche Zahl. Also 3, und vielleicht mache ichs in der Farbe der Kategorie. 3 ist also eine Natürliche Zahl. Es ist ein Teil dieser Menge. Eine Natürliche Zahl ist also auch eine Rationale Zahl. 3 ist eine Natürliche, eine Ganze und eine Rationale Zahl. Als nächstes -5. Nun, -5 kann als Bruch dargestellt werden, muss sie aber nicht, Nun, -5 kann als Bruch dargestellt werden, muss sie aber nicht, aber sie ist negativ. Sie ist also keine Natürliche Zahl. -5 kommt also hier hin. Sie ist eine Ganze Zahl, daher ist sie definitiv eine Rationale Zahl, aber sie ist keine Natürliche Zahl, da sie negativ ist. Jetzt 0,25. Das hier kann als Bruch dargestellt werden. 25/100, hier drüben. Also kann man das hier als Bruch zweier Ganzer Zahlen darstellen. 25 Hundertstel. Es gibt jedoch keinen Weg, das als etwas anderes als einen Bruch darzustellen 0,25 ist eine Rationale Zahl, aber weder eine Ganze noch eine Natürliche Zahl. Wie sieht´s mit 22/7 aus? Schon hier ist es als Bruch zweier Ganzer Zahlen dargestellt, Schon hier ist es als Bruch zweier Ganzer Zahlen dargestellt, aber ich glaube nicht, dass das hier anders als ein Bruch dargestellt werden kann. Man kann es nicht irgendwie ohne Bruch- oder Dezimalzahl machen. ohne Bruch- oder Dezimalzahl machen. Das hier wäre also ebenfalls eine Rationale Zahl, jedoch keine Ganze und Natürliche Zahl. Nun das hier. 0,2713. Die 13 wiederholt sich. Das wäre das Gleiche wie 0,27131313, das repräsentiert diese Linie hier. Nun, ihr merkt es vielleicht noch nicht, aber jede Zahl, die periodisch ist. wie diese hier -- ,1313, wie diese hier -- ,1313, bzw. 0,27131313, jede Zahl wie diese kann als Bruch dargestellt werden. Z.b., und das mache ich nicht jetzt, nur um der Zeit willen, aber, z.b. 0,Periode 3 ist dasselbe wie 1/3. Später werden wir Techniken kennenlernen, wie man das hier in einen Bruch zweier ganzer Zahlen konvertiert. Aber, um unser willen, wissen wir nur, dass das hier als Bruch zweier Ganzer Zahlen dargestellt werden kann, Wie beispielsweise 0,Periode 3 Also ist das hier eine Rationale Zahl. 0,27Periode 13. Man muss sie aber als Dezimalzahl oder als Bruch zweier Ganzer Zahlen darstellen. Wenn nicht, könnte es eine Ganze Zahl sein, aber wir tun sie zu den Rationalen zahlen. Nun Quadratwurzel 10. Nun Quadratwurzel 10. Das ist interessant. Jede Quadratwurzel einer nicht-perfekten Zahl wird irrational. Das ist also irrational. Aber man kann sie nicht als Verhältnis oder Bruch zweier Ganzer Zahlen darstellen. Mit einer Ganzen Zahl im Zähler und einer im Nenner. Wenn man sie als Dezimalzahl schreibt, sind sie nicht periodisch. Man hat zwar mehr und mehr Dezimalstellen, aber sie sind nicht periodisch. Das hier oben ist also eine Irrationale Zahl. Nicht rational. Sie kann nicht als Verhältnis zweier Ganzer Zahlen dargestellt werden. Nun, 14/7. Das wäre das Verhältnis zweier Ganzer Zahlen. Das ist sich rational. Aber wenn man sich 14/7 ansieht, das wäre ein anderer Weg zu sagen, 14/7 ist dasselbe wie 2. Diese beiden sind identisch. Also, 14/7 ist dasselbe wie 2. Sie ist also eine Natürliche Zahl. Sie nicht nicht danach aus, aber merkt euch, eine Natürliche zahl ist eine nicht-negative zahl, die nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. Und das hier, obwohl wir sie als Verhältnis zweier Ganzer Zahlen dargestellt haben, muss nicht genauso dargestellt werden. Man könnte dafür auch 2 schreiben. Das ist also eine Natürliche Zahl. 14/7, dasselbs wie 2, ist eine Natürliche Zahl. Nun, 2pi. Nun, pi ist eine Irrationale Zahl, Nun, pi ist eine Irrationale Zahl, Wenn wir also ein Vielfaches von pi nehmen, ein ganzzahliges Vielfaches von pi, wie dieses, das ist also eine Irrationale Zahl. Wenn man ihre Dezimalform betrachtet, wiederholt sie sich nie. Das hier drüben ist also 2pi. Nun... Machen wir das am besten wieder in derselben farbe. Machen wir das am besten wieder in derselben farbe. Hier 2pi. Was ist jetzt mit der negativen Quadratwurzel von 25? Nun, 25 ist ein perfektes Quadrat. Daraus die Quadratwurzel ergibt einfach 5. Diese Zahl hier ist also dasselbe wie 5. Diese Zahl hier ist also dasselbe wie 5. Das hier ist also eine andere Darstelungsweise dieser Zahl hier. Das hier ist also eine andere Darstelungsweise dieser Zahl hier. Also eine Ganze Zahl. Keine Natürliche Zahl, da sie negativ ist, aber eine Ganze Zahl. Negative Quadratwurzel von 25. Diese beiden hier sind eigentlich ein und dieselbe Zahl, Diese beiden hier sind eigentlich ein und dieselbe Zahl, nur unterschiedlich dargestellt. Und dann haben wir noch Quadratwurzel von 9 /7. Und dann haben wir noch Quadratwurzel von 9 /7. Und dann haben wir noch Quadratwurzel von 9 /7. Was ist Wurzel 9? Das ist dasselbe wie... Das ist dasselbe wie... ...nehmen wir eine andere Farbe... Das ist dasselbe wie, Wurzel 9 ist 3, das ist die Wurzel von 9, also ist es 3/7. Das ist also das verhältnis zweier Ganzer Zahlen. Das ist eine Rationale Zahl. Wurzel 9 /7 ist dasselbe wie 3/7. Machen wir eine zusätzliche Zahl, nur fürs Üben. Wie sieht es mir pi/pi aus? Was ist das? Nun, pi geteilt durch pi ist gleich 1. Das ist also eine Natürliche Zahl. Man kann pi/pi also hierhin setzen. Das ist eine sehr unkonventionelle Art, 1 darzustellen.