Was ist eine Funktion?

Ich erkläre dir nun was eine Funktion ist. Abstrakt gesehen nimmt eine Funktion, eine Eingabe. Betrachtet diese Eingabe, und macht etwas damit. Abhängig von der Eingabe ergibt die Funktion ein Ergebnis Ein Beispiel für eine Funktion wäre etwas wie "f von x". x ist die häufigste Variable für die Eingabe. x ist die häufigste Variable für die Eingabe. f ist die häufigste Variable für den Namen der Funktion. f ist die häufigste Variable für den Namen der Funktion. Man kann auch andere Variablen benutzen. Sagen wir mal f(x) = x quadrat, wenn x gerade ist und das ist gleich x +5, wenn x ungerade ist. Was passiert, wenn wir 2 in die Funktion einsetzen? Wenn unsere Eingabe 2 ist, dann betrachten wir f(2). Wir setzen 2 in unsere Funktion f ein. Überall wo die Variable x steht setzen wir stattdessen eine 2 ein. x reserviert uns quasi den Platz. x reserviert uns quasi den Platz. Ist 2 gerade, wird 2 quadriert. Ist 2 ungerade, addiert man 2 + 5. 2 ist gerade, also quadrieren wir. Hier ist f(2) = 2 zum Quadrat, also 4. Was wäre f(3)? Wir setzen für alle x die 3 ein. Wir setzen für alle x die 3 ein. Wir setzen für alle x die 3 ein. Ist 3 gerade, wird es quadriert; ungerade, mit 5 addiert. 3 ist ungerade also addieren wir es mit 5. 3 + 5 = 8 Das ist alles schön und gut, eine interessante Art eine Funktion zu definieren, ein Weg, etwas mit diesen Zahlen zu tun. Aber das hätte man auch mit traditionellen Gleichungen machen können, besonders mithilfe der geschwungenen Klammer. Was kann eine Funktion besonderes? Was kann eine Funktion besonderes? Man kann zu Beispiel auch so eine Funktion nehmen. Ich nutze diesesmal nicht mehr f und x, um zu zeigen, dass die Schreibweise generell sein kann. Sagen wir h(a) = die nächst größere Zahl, die mit demselben Buchstaben wie Variable a anfängt. die mit demselben Buchstaben wie Variable a anfängt. Wir nehmen an, wir sprechen Englisch. Das gegeben, was wäre h(2)? 2 heißt auf Englisch "two", fängt also mit "t" an. Was ist die nächst größere Zahl, die auch mit "t" anfängt? Im Englischen ist es die 3 (drei= three). Was wäre h(8)? Was wäre h(8)? 8 (eight) fängt mit "e" an. Die nächste Zahl wäre 11 (eleven). Jetzt sieht man wie generell dieses "Werkzeug" ist. Betrachten wir die function h. Wir betrachten den Buchstaben mit dem die Zahl im Englischen anfängt. Das ist ziemlich komisch. Das ist ziemlich komisch. Nicht alle Funktionen müssen so komisch sein. Ihr kennt eigentlich schon Funktionen, so was wie y = x + 1. Das can auch eine Funktion sein. Man könnte sagen, y ist eine Funktion von x y gleich x + 1. Nehmen wir irgendeine Eingabe, zB x = 0, wir sagen dann f(0), das ist gleich 0 + 1= 1. das ist gleich 0 + 1= 1. das ist gleich 0 + 1= 1. f(2) = 3. Das kennt ihr schon. Ihr habt schon mal eine Tabelle aufgestellt von x und deren y. Ist x 0, ist y 1. Ist x 0, ist y 1. Ist x 0, ist y 1. Ist x 0, ist y 1. Das kennt ihr von Tabellen mit x und y. Das kennt ihr von Tabellen mit x und y. Wenn x = 0 ist, ist y = 1. Wenn x = 2 ist, ist y = 3, Warum schreiben wir es dann als Funktion nur um zu sagen, f(x)= x+1 ? Wir möchten es allgemeiner sehen. Hierfür müssten wir nicht die Funktionsschreibweise benutzen. Aber es ist besser diese Schreibweise zu benutzen weil man dann sieht, dass die Funktion eine Eingabe für x nimmt, etwas damit macht- hier x + 1, und dann 1 mehr herausgibt. Egal was hier für x eingesetzt wird, man kriegt immer 1 mehr als die Originalfunktion. Jetzt fragt ihr bestimmt: Was ist denn KEINE Funktion? Was ist denn KEINE Funktion? Eine Funktion nimmt die Eingabe und gibt nur ein einziges Ergebnis pro Eingabe. Hier ist eine bildliche Darstellung einer Funktion: Hier ist eine bildliche Darstellung einer Funktion: Hier ist die x- Achse, und hier die y- Achse. Hier ist ein Kreis mit dem Radius = 2. Hier ist ein Kreis mit dem Radius = 2. Hier ist -2, hier +2, hier -2. Die Kreismitte liegt auf dem Ursprung. Der Radius =2. Hier ist der Kreis. Die Funktion des Kreises ist x^2 + y^2 = Radius^2 = 2^2, also = 4. x^2 + y^2 = Radius^2 = 2^2, also = 4. Was ist das Verhältnis zwischen x und y? Hier habe ich es als Gleichung geschrieben. Hier habe ich alle x und y, die die Gleichung erfüllen gezeichnet. Hier habe ich alle x und y, die die Gleichung erfüllen gezeichnet. Ist das Verhältnis eine Funktion? Wir erkennen, dass es keine Funktion ist. Wir erkennen, dass es keine Funktion ist. Nehmen wir irgendein x. Sagen wir mal x = 1. Es gibt zwei mögliche passende y dazu, hier oben und hier unten. Man könnte nach x lösen, indem man die Gleichung betrachtet. Wenn x = 1 ist, kriegen wir 1^2 + y^2n= 4. Wenn x = 1 ist, kriegen wir 1^2 + y^2n= 4. 1 + y^2 = 4. Ziehen wir von beiden Seiten 1 ab: y^2 = 3. Oder y = +/- die Wurzel von 3. Hier ist die positive Wurzel von 3, hier die negative Wurzel von 3. In diesem Beispiel, indem ich die 1 eingesetzt habe In diesem Beispiel, indem ich die 1 eingesetzt habe und mit der 1 die positive und negative Wurzel Wurzel von 3 assoziiere, das ist keine Funktion. Man darf nicht zwei Ergebnisse für eine Eingabe erhalten. Man darf pro Eingabe nur ein Ergebnis kriegen.