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Berechnungsbeispiel: Winkel im Dreieck (Diagramm)

Video-Transkript
Hier ist ein großes Dreieck abgebildet, welches kleine weitere Dreiecke enthält. Ich möchte nun die Gradzahl dieses Winkels bestimmen. Der Winkel heißt Theta. Ein paar Hilfestellungen sind gegeben. Dieses Symbol hast du bestimmt schon einmal gesehen. Damit wird ein rechter Winkel gekennzeichnet, ein Winkel der 90 Grad hat. Das hier ist ein 90 Grad Winkel, das ist ein 90 Grad Winkel und das hier ist auch ein 90 Grad Winkel. Dieser Winkel hier hat 32 Grad. Nun lass uns die Aufgabe lösen. Wir können diese Aufgabe mit verschiedenen Ansätzen lösen. Das ist das Gute an diesen Aufgaben. Der Winkel Theta grenzt nun an diesen grünen Winkel an. Wenn du zusammen ziehst, erhälst du einen rechten Winkel. Dieser pinke Winkel, Theta, plus dem grünen Winkel muss 90 Grad ergeben. Wenn du sie kombinierst, erhältst du einen rechten Winkel. Diesen Winkel können wir als 90 minus Theta bezeichnen. Jetzt haben wir drei Winkel in dem Dreieck und müssen nur nach Theta auflösen. Wir wissen, dass die drei zusammen 180 Grad ergeben müssen. Du rechnest nun 90 minus Theta plus 90 plus 32 -- ich nehme eine andere Farbe -- und das soll 180 Grad ergeben. Die Summe der Winkel in einem Dreieck ergibt immer 180 Grad. Das ist alles was wir hier machen. Ich vereinfache den Term nun. 90 plus 90 ergibt 180 und das ergibt 180 minus Theta plus 32 entspricht 180 Grad. Was können wir noch vereinfachen? Wir haben auf beiden Seiten 180 stehen. Wir können das auf beiden Seiten abziehen, so dass die Werte verschwinden. Das wird Null. Jetzt bleibt minus Theta plus 32 entspricht 0. Wir addieren Theta auf beiden Seiten und erhalten 32 Grad entspricht Theta oder Theta ist gleich 32 Grad. Theta ist also genau so groß wie dieser Winkel hier. Das ist eine Möglichkeit die Aufgabe zu lösen. Es gibt weitere Möglichkeiten, die Aufgabe zu lösen. Es gibt weitere Möglichkeiten die Aufgabe zu lösen. Ehrlich gesagt, gibt es tausende Wege. Wir können auch das große Dreieck betrachten und folgern, dass wenn das hier 90 Grad sind und das hier 32 Grad, dann ist dieser Winkel hier 180 minus 90 minus 32 Grad, weil sie zusammen 180 Grad ergeben müssen. Ich habe hier einen Schritt übersprungen. Ich sollte den Schritt nicht überspringen. Ich bezeichne das als x. Wenn wir diesen Winkel x bezeichnen, dann erhalten wir x plus 90. Ich betrachte hier das größte Dreieck in dieser Zeichnung. x plus 90 plus 32 ist gleich 180 Grad. Du kannst nun 90 und 32 auf beiden Seiten subtrahieren. Wenn du 90 auf beiden Seiten subtrahierst, erhälst du x plus 32 ist gleich 90. Nun subtrahierst du noch 32 auf beiden Seiten und erhälst x ist gleich 58 Grad. erhälst x ist gleich 58 Grad. Okay. Was können wir noch herausfinden? Wenn dieser Winkel hier ein rechter Winkel ist -- ich löse die Aufgabe nochmal um die zu zeigen, dass es verschiedene Lösungswege gibt. Wir wissen, dass das ein rechter Winkel ist. Wenn das hier 90 Grad sind, dann ist dieser Winkel hier ein ergänzender Winkel und ist deswegen auch 90 Grad groß. Wir erhalten diesen Winkel plus 90 Grad plus diesen Winkel und setzen das mit 180 gleich. Wir nennen den Winkel y. y plus 58 plus 90 entspricht 180. Du ziehst auf beiden Seiten 90 ab. Subtrahiere 90 auf beiden Seiten. Das ergibt 90. Subtrahiere 58 auf beiden Seiten und du erhälst y entspricht 32 Grad. Subtrahiere 58 auf beiden Seiten und du erhälst y entspricht 32 Grad. Wenn y gleich 32 Grad ist, dann ist der Winkel komplementär. Er ist komplementär zu diesem Winkel. Er ist komplementär -- ich verwende eine neue Farbe -- und nicht ergänzend. Er ist ein komplementärer Winkel, weil er mit dem anderen 90 Grad ergibt. Er ist komplementär zu diesem Winkel hier. Wir nennen ihn z. Diese beiden zusammen ergeben 90 Grad. z ist also 58 Grad groß. Jetzt sind wir innerhalb des Dreiecks, welches wir für die Bestimmung von Theta benötigen. Theta haben wir ja bereits bestimmt. z ist 58 Grad groß. Wenn dieser Winkel hier 90 Grad groß ist, dann ist dieser Winkel hier auch 90 Grad groß, weil er supplementär ist. Hier haben wir 58 Grad. Ich wollte das in orange notieren. Nun rechnest du 58 plus 90 plus Theta entspricht 180 Grad. Du subtrahierst 90 auf beiden Seiten. Das ergibt 90 und erhälst 58 plus Theta ist gleich 90. Du subtrahierst auf beiden Seiten 58. Damit erhälst du Theta ist gleich 32 Grad. Wir erhalten die gleiche Antwort. Ich wollte die zeigen, dass es mehrere Lösungswege für diese Aufgaben gibt. So lange du logisch konsistente Annahmen triffst und diese korrekt umsetzt, kannst du auf verschiedenen Wegen zu der Lösung kommen.