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Aussenwinkel-Herausforderung mit Hilfe von Dreiecksinnenwinkeln lösen

Video-Transkript
Anspruchsvolles Dreieck-Winkel-Problem Dies sieht nach einem interessanten Problem aus. Wir haben dieses Polygon. Die Figur sieht wie ein Fünfeck bzw. Pentagon aus. Es handelt sich um ein unregelmäßiges Fünfeck, weil nicht alle Seiten dieselbe Länge haben. Es handelt sich um ein unregelmäßiges Fünfeck, weil nicht alle Seiten dieselbe Länge haben. Die Seiten sind dabei etwas über den Rand hinaus verlängert. Hier entstehen Außenwinkel. Hier entstehen Außenwinkel. Bei dieser Aufgabe müssen wir nun die Summe aller äußeren Winkel bestimmen. Bei dieser Aufgabe müssen wir nun die Summe aller äußeren Winkel bestimmen. Die Aufgabe ist etwas einschüchternd, weil keine anderen Informationen gegeben sind. Die Aufgabe ist etwas einschüchternd, weil keine anderen Informationen gegeben sind. Es sind nicht einmal irgendwelche Winkel bestimmt. Nirgendswo eine Starthilfe. Aber was wir tun können ist, schrittweise darüber nachzudenken, was wir wissen. Aber was wir tun können ist, schrittweise darüber nachzudenken, was wir wissen. Gut, wir haben diese Außenwinkel. Und diese Außenwinkel. Jeder davon ist komplementär zu einem Innenwinkel. Wenn wir also die Außenwinkel als Funktion der Innenwinkel darstellen können, können wir dieses Problem vielleicht so anschreiben, dass es ein bisschen machbarer wirkt. Also, lasst uns die Innenwinkel hier anschreiben. Wir sind bereits bei e. Also, lasst uns diesen Innenwinkel f nennen. Diesen Innenwinkel nennen wir g. Diesen Innenwinkel nennen wir h. Diesen hier nennen wir i. Und diesen nennen wir j. Das Ergebnis dieser bestimmten Außenwinkel, a ist nun gleich 180 minus g, weil a und g komplementär sind. Also a ist 180 minus g. Und dann haben wir plus b. Aber b können wir mittels diesem Innenwinkel anschreiben. Das ergibt 180 minus h, weil diese beiden Winkel erneut komplementär sind. Das ergibt 180 minus h, weil diese beiden Winkel erneut komplementär sind. Lasst uns eine neue Farbe verwenden. Also dies ergibt 180 minus h. Und wir könnten dasselbe für jeden Winkel machen. c können wir als 180 minus i anschreiben, also plus 180 minus i. Und können wir als 180 minus j anschreiben, also plus 180 minus j. Und dann schlussendlich, mir gehen die Farben aus, e können wir als 180 minus f anschreiben, also plus 180 minus f. Und daher, bleibt uns, wenn wir alle 180er zusammenaddieren, 180 fünf Mal. Dies ist gleich fünf mal 180, was 900 ergibt. Und dann haben wir minus g, minus h, minus i, minus j, minus f. Wir können dies aber so anschreiben -- ich werde versuchen dieselben Farben zu verwenden -- minus g plus h -- ich ziehe das Minuszeichen heraus -- g plus h -- ich werde dieselbe Farbe wie für g benutzen, das ist nicht dieselbe Farbe -- g plus h, plus i, plus j, plus f. das ist nicht dieselbe Farbe -- g plus h, plus i, plus j, plus f. Und der Grund warum ich das so gemacht habe und warum das jetzt interessant ist, ist, dass wir die erste Sache, die wir herausfinden sollen, schriftlich fixiert haben. ist, dass wir die erste Sache, die wir herausfinden sollen, schriftlich fixiert haben. Wir haben sie ausgedrückt mittels der Summe der Innenwinkel. Dies ergibt 900 minus all dem hier. Also 900 minus all dem hier, was die Summe der Innenwinkel ist. Dies ist also die Summe der Innenwinkel. Es scheint, als hätten wir einen kleinen Fortschritt gemacht, zumindest wenn wir die Summe der Innenwinkel herausfinden können. Um dies zu bewerkstelligen, werde ich dir einen kleinen Trick zeigen. Du dividierst das Innere des Polygons, in drei nicht-überlappende Dreiecke. Du dividierst das Innere des Polygons, in drei nicht-überlappende Dreiecke. Du dividierst das Innere des Polygons, in drei nicht-überlappende Dreiecke. Wir können dies von jeder Seite aus machen. Sagen wir, dass sie alle aus dieser Seite hier herauskommen. Sagen wir, dass sie alle aus dieser Seite hier herauskommen. Sagen wir, dass sie alle aus dieser Seite hier herauskommen. Ich habe es geteilt -- lass mich dies in einer neutralen Farbe tun, ich werde es in weiß machen -- so hier ist ein Dreieck. Und dann lass mich noch so ein Dreieck machen. Und dann lass mich noch so ein Dreieck machen. Ich hab das Innere in drei nicht-überlappende Dreiecke geteilt. Und der Grund dafür ist, dass wir wissen, was die Summe der Winkel eines Dreiecks ergibt. dass wir wissen was die Summe der Winkel eines Dreiecks ergibt. Und um uns dies nutzbar zu machen, müssen wir diese Winkel in Summen ausdrücken, weil die Summe aller Winkel eines Dreiecks 180 ergibt. weil die Summe aller Winkel eines Dreiecks 180 ergibt. weil die Summe aller Winkel eines Dreiecks 180 ergibt. g ist bereits einer der Winkel im Dreieck. f setzt sich aus zwei Winkeln zusammen. Erinnere dich, dass f der gesamte Winkel hier ist. Also, lass uns f in zwei andere Winkel teilen, oder in zwei andere Maße von Winkeln, sollte ich sagen. Also sagen wir, dass f gleich ist zu -- wir haben bereits a, b, c, d, e, f, g, h, i, j -- k haben wir noch nicht benutzt. Also sagen wir, f ist gleich k plus l. Es ist gleich der Summe der Maße dieser beiden benachbarten Winkel hier. Also f ist gleich k plus l. Somit haben wir f in Winkel dieser anderen Dreiecke geteilt. Und dann können wir dasselbe für j machen, weil j, wieder der gesamte Winkel ist. Also können wir sagen, dass j gleich ist zu -- mal sehen, l haben wir bereits benutzt. Also sagen wir j ist gleich m plus n. Also sagen wir j ist gleich m plus n. Und schlussendlich können wir h aufteilen. h ist hier. Denk daran, es handelt sich um den gesamten Winkel. Sagen wir, h ist gleich o plus p plus q. Das ist o, das ist p, das ist q. Zur Wiederholung, ich wollte diese Innenwinkel aufteilen, wenn sie nicht bereits Winkel eines Dreiecks sind. Ich will sie aufteilen in Winkel, die Teile dieser Dreiecke sind. Wir haben also, h ist gleich o plus p plus q. Dies ist interessant, weil wir jetzt die Summe dieser Innenwinkel als Summe einer Menge von Winkeln anschreiben können, die Teil dieser Dreiecke sind. Und dann können wir die Tatsache nutzen, dass die Summe, egal für welches Dreieck, 180 Grad ergibt. Lasst uns dies durchführen. Dieser Ausdruck hier wird g. g ist der Winkel hier. Wir haben keine Substitution gemacht. Also g -- nein, lass mich alles schreiben. Wir haben also 900 minus, und anstelle von g, genau genommen mache ich keine Substitution, kann ich schreiben g plus, und anstelle von h, h kann ich schreiben als o plus p plus q. h kann ich schreiben als o plus p plus q. Und dann plus i. i befindet sich genau hier. Plus i. Und dann plus j. Und ich habe irgendwie die Farben vertauscht. Magenta gehört zu i. Und j ist der Ausdruck hier herüben. Also j ist gleich m plus n, anstelle j hierhin zu schreiben. Und schlussendlich haben wir unser f. Und f ist gleich k plus l. Also plus k plus l. Also noch einmal, ich habe gerade diesen Teil hier umgeschrieben bezüglich dieser zusammengesetzten Winkel. Und jetzt passiert etwas sehr Interessantes, weil wir die Summen wissen. Weil wir wissen, dass g plus k plus o gleich 180 Grad ist. Sie sind die Maße des Winkels für dieses erste Dreieck hier. für dieses erste Dreieck hier. Also g plus o plus k ist 180 Grad. Also g -- lass mich dies in einer anderen Farbe machen. Also von diesem Dreieck hier, wissen wir, dass g plus o plus k gleich 180 Grad ist. Wenn wir sie also durchstreichen, können wir stattdessen 180 schreiben. Und dann wissen wir auch -- mal sehen, mir gehen definitiv die Farben aus -- wir wissen dass p, für dieses mittlere Dreieck hier, wir wissen dass p plus l plus m 180 Grad ist. wir wissen dass p plus l plus m 180 Grad ist. Daher können sie ebenfalls durchgestrichen werden und du weißt, dass ihre Summe 180 Grad ist. Und schlussendlich, dies ist die Zielgerade hier. Wir wissen, dass q plus n plus i in diesem Dreieck gleich 180 Grad ist. Wir wissen, dass q plus n plus i in diesem Dreieck gleich 180 Grad ist. Wir wissen, dass q plus n plus i in diesem Dreieck gleich 180 Grad ist. Diese drei sind also 180 Grad. Und jetzt wissen wir, dass die Summe der Innenwinkel für dieses unregelmäßige Pentagon -- tatsächlich gilt dies für jedes Pentagon -- gleich 180 plus 180 plus 180 ist, was 540 Grad ergibt. gleich 180 plus 180 plus 180 ist, was 540 Grad ergibt. Dieses gesamte Ding hier hat also 540 Grad. Und wenn wir die Summe der Außenwinkel haben wollen, subtrahieren wir 540 einfach von 900. Also 900 minus 540 ist 360 Grad. Und wir sind fertig. Das Ergebnis sind 360 Grad.