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Beweis für den Satz des Pythagoras mit Ähnlichkeiten

Video-Transkript
Bei diesem Dreieck hier handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Bei diesem Dreieck hier handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Rechtwinklig, weil es einen 90-Grad-Winkel oder einen rechten Winkel besitzt. Man nennt die längste Seite eines Dreiecks Man nennt die längste Seite eines Dreiecks oder die Seite, die gegenüber des 90-Grad-Winkels liegt, die Hypothenuse. Ein schicker Begriff für eine einfache Idee, die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks oder die Seite gegenüber des 90-Grad-Winkels. Es ist gut zu wissen, wenn jemand Hypothenuse sagt. Und dann verstehen wir, sie reden über diese Seite hier, die längste Seite, die Seite gegenüber des 90-Grad-Winkels In diesem Video möchte ich eine Beziehung, eine sehr bekannte Beziehung beweisen. Und wir sehen, zu was das führt. Eine sehr bekannte Beziehung zwischen den Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Sagen wir, die Länge von AC, also A, C nennen wir diese Länge "a". Nennen wir die Länge von BC "b", genau hier. Großbuchstaben für Punkte, Kleinbuchstaben für Längen. Nennen wir die Länge der Hypothenuse, die Länge von AB, die nennen wir "c". Versuchen wir, eine Beziehung zwischen a,b und c herzustellen. Dazu werde ich zuerst eine weitere Linie oder ein weiteres Segment konstruieren, zwischen c und der Hypothenuse. ich konstruiere es so, dass sie sich in einem Punkt treffen. Das kann man immer machen. Und diesen Punkt hier oben, diesen Punkt nennen wir "D". Wie kann man dies eigentlich immer machen? Lassen wir das ganze Dreieck hier drehen. Das ist kein klarer Beweis, aber es gibt uns eine ungefähre Idee, wie man immer einen Punkt wie diesen konstruieren kann. Wenn ich es drehe, liegt das Dreieck auf seiner Hypothenuse. Das ist jetzt Punkt B, das hier Punkt A. Wir haben das hier komplett gedreht. Das hier ist Punkt C. Wenn man einen Stein von Punkt C fallen ließe, vielleicht an einem Seil, würde er die Hypothenuse im rechten Winkel treffen. Das ist alles, was wir gemacht haben, um Segment CD zu errichten, da wo wir unseren Punkt D hier gesetzt haben. Der Grund dafür ist, dass wir nun alle Arten von interessanten Beziehungen zwischen ähnlichen Dreiecken herstellen können. Wir haben hier 3 Dreiecke. Wir haben Dreieck ADC, Dreieck DBC, und wir haben das ursprünglich größere Dreieck. Hoffentlich können wir Ähnlichkeit zwischen diesen Dreiecken herstellen. Zuerst zeige ich euch, dass ADC ähnlich dem größeren Dreieck ist, denn beide haben einen rechten Winkel. ADC hat einen rechten Winkel genau hier. Wenn dieser Winkel 90 Grad beträgt, dann beträgt dieser hier genauso 90 Grad. Sie ergänzen sich. Sie ergeben zusammen 180 Grad. Also besitzen beide einen rechten Winkel. Das kleinere hat einen rechten Winkel, das größere hat einen rechten Winkel, unser Ausgangsdreieck. Beide haben auch diesen Winkel hier gemeinsam, Winkel DAC oder BAC, je nachdem, wie man ihn bezeichnen möchte. Also können wir dieses Dreieck hier beschreiben. Ich beginne mit dem kleineren, ADC. Ich straffiere es hier mal aus. Wir sprechen also über dieses Dreieck hier, Dreieck ADC. Ich gehe vom blauen Winkel zum rechten Winkel zum unbenannten Winkel vom Standpunkt des Dreiecks ADC aus. Dieser rechte Winkel betrifft nicht diesen hier. Er betrifft das größere Dreieck. Wir könnten sagen: Dreieck ADC ist ähnlich dem Dreieck- wir fangen wieder am blauen Winkel an. A. Dann zum rechten Winkel. Also gehen wir erneut zum rechten Winkel. Also ist es ACB. Also ist es ACB. Da sich beide ähnlich sind, können wir eine Beziehung zwischen dem Verhältnis ihrer Seiten herstellen. Wir kennen z.B. das Verhältnis zwischen gleichen Seiten für ähnliche Dreiecke im Allgemeinen, ist das Verhältnis zwischen übereinstimmenden Seiten eine Konstante. Wir könnten also das Verhältnis der Hypothenuse zum kleineren Dreieck nehmen. Die Hypothenuse ist also AC. Also AC geteilt durch die Hypothenuse des größeren, das ist AB, AC/AB ist das gleiche wie AD, als einer der Schenkel, AD. Das tue ich, um zu zeigen, dass ich gleiche Punkte auf beiden ähnlichen Dreiecke nehme, das ist AD/AC. Ihr könnt euch diese Dreiecke selber anschauen und sagen: Schaut, AD, Punkt AD, befindet sich zwischen dem blauen Winkel und dem rechten. Entschuldigung, Seite AD befindet sich zwischen dem blauen und dem rechten Winkel. Seite AC ist zwischen dem blauen und dem rechten Winkel am größeren Dreieck. Beide dieser Seiten sind also vom größeren Dreieck. Diese sind die gleichen Winkel an dem kleineren Dreieck. Wenn das Hinsehen hier zu verwirrend ist, solange wir unsere Ähnlichkeitsthese korrekt geschrieben haben, können wir einfach die übereinstimmenden Punkte finden. AC korrespondiert mit AB am größeren Dreieck, AD am kleineren Dreieck korrespondiert mit AC am größeren Dreieck. Und wir wissen, dass AC -- wir können das als "a" umschreiben. AC ist a. Wir haben keinen Namen für AD oder für AB. Entschuldigung, wir haben einen Namen für AB. Das hier drüben ist "c". Wir haben keinen Namen für AD. AD bezeichnen wir einfach als "d". d bezieht sich also auf diesen Teil hier. c bezieht sich auf den gesamten Teil hier. Und DB bezeichnen wir als Länge "e". Das macht es ein wenig einfacher für uns. Also AD, bezeichnen wir es einfach als d. Wir haben: a/c ist gleich d/c. Wenn wir überkreuz multiplizieren, haben wir a*a, das ergibt a zum Quadrat, ist gleich c*d, das ergibt cd. Das sieht schon ein wenig interessant aus. Schauen wir, was wir mir dem anderen Dreieck hier machen. Dieses Dreieck hier. Nochmals, es hat einen rechten Winkel. Das größere hat einen rechten Winkel. Und beide haben diesen Winkel hier gemeinsam. Bei Winkel-Winkel-Ähnlichkeit sind die zwei Dreiecke ähnlich. Wir sagen BDC, we sind von pinken zum rechten zum nicht benannten gegangen. Also ist Dreieck BDC ähnlich dem Dreieck- Wir schauen jetzt aufs größere Dreieck, wir starten bei pink. B. Nun gehen wir zum rechten Winkel. CA. CA. BCA. Vom pinken zum rechten Winkel zum unbenannten Winkel, zumindest von diesem Standpunkt aus. Das war vorher blau markiert. Stellen wir jetzt eine Beziehung her. Wir können sagen, das Verhältnis am kleineren Dreieck, BC, Seite BC/BA, noch einmal, wir nehmen die Hypothenuse von beiden. Also ist BC/BA gleich BD. Nehmen wir eine andere Farbe. BD. Das ist einer der Schenkel. BD. Ich hab es als kürzeren gezeichnet. BD/BC Ich nehme lediglich übereinstimmende Ecken. /BC Hier wissen wir wieder, BC ist dasselbe wie b. BC ist b. BA ist c. BA ist c. Und BD haben wir als e definiert. Das ist also e. Wir können hier überkreuz multiplizieren und bekommen b*b, ich erwähnte dies in mehrereren Videos, Überkreuzmultiplizieren ist dasselbe wie beide Seiten mit beiden Nennern zu multiplizieren. b*b ist b zum Quadrat ist gleich ce. Jetzt tun wir etwas Interessantes. Wir können die beiden Ausdrücke addieren. Schreiben wir diesen Ausdruck nochmal hin. b zum Quadrat ist also gleich ce. Addieren wir jeweils die linke Seite, bekommen wir a zum Quadrat + b zum Quadrat. a zum Quadrat + b zum Quadrat = cd + ce. a zum Quadrat + b zum Quadrat = cd + ce. Wir haben ein c in beiden der Terme, das können wir ausmultiplizieren. Das ist also gleich-- wir können c ausmultiplizieren. Es ist also gleich c * (d+e). c * (d+e) -- und Klammer zu. Was ist nun d + e ? d ist diese Länge, e diese. d + e ergibt dann also ebenfalls c. Das ist also c. Wir haben c*c, was genau das gleiche wie c zum Quadrat ist. Jetzt haben wir eine interessante Beziehung. Wir haben: a zum Quadrat + b zum Quadrat = c zum Quadrat Schreiben wir das hin. a zum Quadrat. Nehmen wir dafür eine beliebige Farbe. Das habe ich aus Versehen gelöscht, schreiben wir es neu. Wir haben es also gerade geschafft, dass a zum Quadrat + b zum Quadrat gleich c zum Quadrat ist. Und das ist nur ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck. Das gilt für jedes rechtwinklige Dreieck. Wir haben gerade nachgewiesen, dass die Summe beider Quadrate der Schenkel gleich dem Quadrat der Hypothenuse ist. Das ist wahrscheinlich, kurz gesagt, eine der bekanntesten mathematischen Lehrsätze, benannt nach Pythagoras. Es ist nicht bekannt, ob er der Erste ist, der dies nachgewiesen hat, man nennt ihn jedoch den Satz des Pythagoras. man nennt ihn jedoch den Satz des Pythagoras. Es ist zwar nicht Grundlage für die gesamte Geometrie, aber für das Meiste, was wir in Geometrie machen. Es bildet auch Grundlage für das Meiste der Trigonometrie, die wir behandeln. Es ist ein nützliches Verfahren; wenn man 2 Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennt, kann man immer die dritte finden.