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Studying for a test? Prepare with these 4 lessons on Satz des Pythagoras.
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Video-Transkript
In diesem Video werden wir einen Beweis zum Satz der Pythagoras erbringen, der zum ersten Mal, oder so weit wir wissen zum ersten Mal 1876 von James Garfield entdeckt wurde. Das spannende dabei ist, dass er kein professioneller Mathematiker war. Ihr kennt ihn wahrscheinlich als den 20. Präsidenten der Vereinigten Staaten. Er wurde zum Präsidenten gewählt. Er wurde 1880 gewählt und wurde 1881 Präsident. Und er erbrachte diesen Beweis, während er Abgeordneter des US Repräsentantenhauses war. Das spannende dabei ist, dass Abraham Lincoln nicht der einzige US-Politiker oder der einzige US Präsident war, der sich mit Geometrie auskannte. Garfield verstand, dass wenn man ein rechtwinkliges Dreieck - ich versuche mal, eines zu konstruieren. Konstruieren wir mal eines genau hier. Sagen wir, diese Seite hier unten ist Länge b. Diese Seite sei Länge a, und sagen wir, diese Seite, die Hypothenuse unseres rechtwinkligen Dreieck, hat die Länge c. So, jetzt habe ich ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert, lasst es mich verdeutlichen. Es ist ein rechtwinkliges Dreieck. Im Wesentlichen drehte und wendete er dieses Dreieck, um ein weiteres zu konstruieren, das deckungsgleich mit dem ersten ist. Konstruieren wir es mal. Also haben wir Länge b, sie ist kollinear mit Länge a. Also haben wir Länge b, sie ist kollinear mit Länge a. Sie ist entlang der selben Linie, müsste man sagen. Sie überlappen nicht miteinander. Das ist also die Seite der Länge b, und dann haben wir eine Seite der Länge - machen wir das ein wenig länger - eine Seite der Länge b. Dann haben wir unsere Seite der Länge a im rechten Winkel. Diese Seite steht in einem rechten Winkel. Und dann haben wir unsere Seite mit der Länge c. Und dann haben wir unsere Seite mit der Länge c. Das erste, was wir beachten müssen, wie groß der Winkel zwischen diesen zwei Seiten ist. Wie groß ist dieser unbekannte Winkel? Wie groß ist dieser unbekannte Winkel? Das sieht vertraut aus, aber versuchen wir zu beweisen, dass es wirklich das ist, wonach es aussieht. Wenn wir uns das ursprüngliche Dreieck ansehen, und wir diesen Winkel "Theta" nennen, wie groß ist dieser Winkel hier oben, der Winkel zwischen Länge a und Länge c? Wie groß wird dieser Winkel sein? Theta und dieser Winkel müssen zusammen 90 ergeben. Addieren wir diese beiden miteinander, ergeben sie 90. Hier habt ihr nochmal 90. Ihr bekommt also eine Innenwinkelsumme von 180 für dieses Dreieck. Diese beiden ergeben 90. Dieser Winkel beträgt 90 minus Theta. Wenn dieses Dreieck kongruent ist - wir haben es genauso konstruiert - dann stimmt dieser Winkel mit diesem überein. Also ist dieser Winkel hier auch Theta, und dieser hier 90 minus Theta. Wenn das also Theta ist, und das 90 minus Theta ist, wie groß ist dann dieser Winkel? Alle zusammen ergeben 180 Grad. Also haben wir: Theta plus 90 minus Theta plus dem unbekannten Winkel ist gleich 180 Grad. Theta wird herausgekürzt. Theta minus Theta. Und 90 plus dem unbekannten Winkel ergibt 180 Grad. Wir ziehen 90 von beiden Seiten ab, und es bleibt übrig: Unbekannter Winkel gleich 90 Grad. Das hat also gut funktioniert. Also lasst es uns nochmal verdeutlichen Das wird uns gleich noch hilfreich sein. Das wird uns gleich noch hilfreich sein. Also können wir mit Sicherheit sagen, dass das ein 90 Grad-Winkel ist. Ein rechter Winkel. Was wir jetzt tun werden, ist, dass wir ein Trapez konstruieren. Diese Seite a ist parallel zur Seite b hier unten. Das ist hier eine Seite. Das ist hier eine Seite. Sie geht gerade hoch, und jetzt verbinden wir mal diese beiden Seiten hier. und jetzt verbinden wir mal diese beiden Seiten hier. Es gibt ein paar Möglichkeiten, wie man sich diese Trapezfläche vorstellen kann. Zunächst einmal kann man es als Trapez sehen und ihre Fläche bestimmen, oder man kann sie aus den Flächen ihrer Komponenten zusammensetzen. Behandeln wir es zunächst einmal als Trapez. Was wissen wir über die Fläche eines Trapezes? Die Trapezfläche errechnet sich also aus der Trapezhöhe, also a + b aus der Trapezhöhe, also a + b Das ist die Höhe des Trapezes. Mal - so, wie wir es sehen - den Mittelwert der Spitze und dem Boden oder der Mittelwert von Spitze und Boden. von Spitze und Boden. Das hier Mal 1/2 Mal a + b. Das hier Mal 1/2 Mal a + b. Man nimmt die Höhe mal den Mittelwert aus Boden und Spitze. Man nimmt die Höhe mal den Mittelwert aus Boden und Spitze. Der Mittelwert aus dem Boden und der Spitze hilft uns bei der Bestimmung der Trapezfläche. Wie können wir nun die Trapezfläche mit ihren Teilflächen errechnen? Egal, wie wir rechnen, solange wir richtig rechnen, sollten wir zum gleichen Ergebnis kommen. Wie kommen wir jetzt zu dieser Fläche? Wir könnten sagen, es ist die Fläche beider rechtwinkligen Dreiecke. Die Fläche jedes einzelnen Dreieckes ist 1/2 a mal b. Die Fläche jedes einzelnen Dreieckes ist 1/2 a mal b. Schreiben wir dieses b im selben Blau. Es gibt aber zwei rechtwinklige Dreiecke. Also multiplizieren wir mit 2. Also 2 Mal 1/2 ab. Das bezieht sich auf das untere rechtwinklige Dreieck und das obere. Das bezieht sich auf das untere rechtwinklige Dreieck und das obere. Wie groß ist die Fläche des großen Dreiecks, welches wir in grün straffieren? Wie groß ist die Fläche des großen Dreiecks? Das ist jetzt ziemlich einfach. Es ist einfach 1/2 c Mal c. Also plus 1/2 c Mal c, was 1/2 c zum Quadrat ist. Vereinfachen wir das nun und sehen, zu was wir kommen, und ihr könnt euch denken, zu was das führt. Schauen wir mal, was wir bekommen. Wir können das hier umstellen. Wir können das hier umstellen. Das ist also 1/2 Mal a + b zum Quadrat ist gleich 2 Mal 1/2 Das hier wird zu 1. Ist gleich a Mal b + 1/2 c zum Quadrat. Ist gleich a Mal b + 1/2 c zum Quadrat. Ist gleich a Mal b + 1/2 c zum Quadrat. Diese 1/2 stören mich hier, deswegen multiplizieren beide Seiten dieser Gleichung mit 2. deswegen multiplizieren beide Seiten dieser Gleichung mit 2. Auf der linken Seite bleibt nur noch a + b zum Quadrat übrig. Schreiben wir das mal hin. Schreiben wir das mal hin. Und auf der rechten Seite bleibt noch 2ab übrig. Und auf der rechten Seite bleibt noch 2ab übrig. Die Farbauswahl muss passend bleiben. Und 2 Mal 1/2 c zum Quadrat, ist gleich c zum Quadrat. Was passiert beim Ausmultiplizieren von a + b mal a + b? Was ergibt a + b zum Quadrat? Es wird zu a zum Quadrat + 2ab + b zum Quadrat. Es wird zu a zum Quadrat + 2ab + b zum Quadrat. Und unsere rechte Seite ist dann gleich diesem Term hier. Und unsere rechte Seite ist dann gleich diesem Term hier. Es wäre jetzt zu umständlich, wieder die Farben zu ändern, deswegen kopiere ich es und füge es ein. Also ist das gleich der rechten Seite. Jetzt wird es interessant. Wie vereinfachen wir dies? Können wir irgendetwas von beiden Seiten herauskürzen? Ja, können wir. Wir haben ein 2ab auf der linken Seite und ein 2ab auf der rechten. Jetzt kürzen wir 2ab von beiden Seiten heraus. Was bleibt übrig, wenn wir 2ab von beiden Seiten herauskürzen? Was übrig bleibt, ist der Satz des Pythagoras. Es bleibt also übrig: a zum Quadrat + b zum Quadrat ist gleich c zum Quadrat. Wirklich interessant. Und dafür können wir uns beim 20.Präsidenten der Vereinigten Staaten, James Garfield bedanken. Das ist wirklich interessant. Den Satz von Pythagoras gab es schon tausende Jahre vor James Garfield, und er konnte durch simples Herumrechnen dazu beitragen, während er Abgeordneter des US Repräsentantenhauses war. während er Abgeordneter des US Repräsentantenhauses war.