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Studying for a test? Prepare with these 4 lessons on Satz des Pythagoras.
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Falls es euch nicht aufgefallen ist, ich wurde etwas davon besessen, so viele Beweise für den Satz des Pythagoras zu erbringen, wie ich kann. Lasst uns also noch einen finden. Wie bei jedem Nachweis, fangen wir an, uns ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren. Ich konstruiere es so, dass die Hypothenuse am Boden liegt. Das ist also die Hypothenuse meines rechtwinkligen Dreiecks. Zeichnen wir es so groß wie möglich, damit wir genug Platz haben, um damit zu arbeiten. Das ist meine Hypothenuse. Nun sagen wir, dass das die längere Seite ist, das ist nicht die Hypothenuse. Wir können 2 gleiche Seiten haben. Aber ich zeichne es so, damit es ein wenig länger aussieht. Nennen wir diese Länge "ä". Und nun zeichnen wir diese Seite hier. Das Dreieck muss rechtwinklig sein. Also geht sie dorthin. Das ist die Seite mit Länge b. Verlängern wir Länge a ein wenig. Es sieht also durchaus wie ein rechtwinkliges Dreieck aus. Das ist unser 90-Grad-Winkel. Das Erste was ich also mache, ich nehme dieses Dreieck und drehe es dann gegen den Uhrzeigersinn um 90 Grad. Wenn ich das hier gegen den Uhrzeigersinn um 90 Grad drehe, ich drehe es buchstäblich nur so herum und zeichne eine weitere, komplett deckungsgleiche Version davon. Ich drehe es also um 90 Grad. Und wenn ich dies tue, steht die Hypothenuse dann steil nach oben. Ich versuche es mal, so gut wie möglich zu zeichnen, maßstabsgerecht nach meinem Augenmaß. Diese Seite mit Länge a wird nun ungefähr so wie hier aussehen. Es ist im Grunde parallel zu dieser Seite hier. Schauen wir, wir gründlich ich das zeichnen kann. Das ist also die Seite mit Länge a. Bei gründlicher Zeichnung wären das hier 90 Grad. Die Rotation zwischen den übereinstimmenden Seiten beträgt einfach 90 Grad in jedem Fall. Das hier sind 90 Grad. Das hier sind 90 Grad. Jetzt zeichnen wir Seite b. Die sieht dann ungefähr so aus, diese Seite, das ist Länge b. Und der rechte Winkel sitzt jetzt hier. Alles was gemacht habe, war, das hier um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn zu drehen. Jetzt möchte ich ein Parallelogramm konstruieren. Ich zeichne ein Parallelogramm, hauptsächlich dadurch -- benennen wir es noch. Das ist Höhe c genau hier. Machen wir das in weiß. Das ist Höhe c. Ich möchte jetzt von diesem Punkt starten und ebenfalls um c hochgehen. und ebenfalls um c hochgehen. Das ist also auch Höhe c. Und wie groß ist diese Länge? Wie groß ist die Länge hier, von diesem Punkt zu dem hier? Wie groß ist die Länge hier, von diesem Punkt zu dem hier? Wie groß ist die Länge hier, von diesem Punkt zu dem hier? Ein kleiner Hinweis: Das ist ein Parallelogramm Diese Linie hier oben ist parallel zu dieser Linie. Es bleibt beim gleichen Abstand. Und da sie gleichermaßen in x-Richtung, oder horizontaler Richtung, und in vertikaler Richtung, hat es die gleiche Länge. Diese Seite besitzt also die Länge a. Die nächste Frage, die ich für euch habe, ist: Wie groß ist die Fläche dieses Parallelogrammes, welches ich gerade konstruiert habe? Um sich dies zu überlegen, zeichnen wir ein Teil des Diagramms neu, sodass das Parallelogramm auf dem Grund liegt. Das ist also Länge a. Das ist also Länge a. Das ist Länge c. Das ist Länge c. Und wenn man sich dieses Segment hier anschaut, bekommt man einen Hinweis. Ich nehme grün. Die Höhe des Parallelogrammes ist genau hier gegeben. Diese Seite ist rechtwinklig zur Basis. Also beträgt die Höhe des Parallelogrammes ebenfalls a. Wir groß ist also die Fläche? Naja, die Fläche eines Parallelogrammes ist einfach: Basis * Höhe Die Fläche dieses Parallelogrammes genau hier beträgt also a zum Quadrat. Tun wir das Gleiche. Jedoch drehen wir unser ursprüngliches Dreieck. Drehen wir es in die andere Richtung. Drehen wir es um 90 Grad im Uhrzeigersinn. Und dieses Mal, anstatt um diesen Punkt zu rotieren, rotieren wir um diesen Punkt hier drüben. Was bekommen wir jetzt? Die Seite der Länge c, wenn wir es genau so drehen, befindet sich dann genau hier. Ich zeichne es so maßstabsgetreu wie möglich. Diese Seite hat also Länge c. Die Seite der Länge b kommt dann hier heraus und sieht ungefähr so aus. Sie ist parallel zu dieser Linie. Das ist ein rechter Winkel. Das zeichne ich dann so. Sieht relativ gut aus. Und die Seite der Länge a ist dann hier draußen. Das ist also a. Das hier drüben ist dann b. Ich möchte dieses b in blau haben. Dieses b in blau. Und dieser rechter Winkel ist dann nach der Drehung genau hier drüben. Machen wir nun dieselbe Übung. Wir konstruieren jetzt ein Parallelogramm genau hier. Das ist Höhe c. Das hier ebenfalls Höhe c. Mit derselben Logik also, die wir hier drüben benutzt haben, wenn die Länge b ist, und diese Länge ebenfalls b. Das sind parallele Linien. Wir gehen die gleiche Distanz in horizontaler Richtung. Wir gehen genauso weit in vertikaler Richtung hinauf. Wir wissen das, da sie parallel sind. Das ist also Länge b hier unten. Das ist Länge b hier oben. Was ist nun die Fläche dieses Parallelogrammes hier? Was ist nun die Fläche dieses Parallelogrammes hier? Wir können hier noch einmal zur Hilfe um es zu veranschaulichen es flach auf dem Boden liegend zeichnen. Das ist dann diese Seite. Dann haben wir noch eine Seite genau hier. Beide haben Länge b. Und wir haben die Seiten der Länge c. Das ist c. Das ist c. Was ist seine Höhe? Nun, man sieht es genau hier. Seine Höhe ist ebenfalls Länge b. Das bekommen wir genau hier. Wir wissen, dass dieser Winkel hier 90 Grad beträgt. Wir haben eine 90-Grad-Drehung gemacht. So haben wir diesen Körper konstruiert. Damit wissen wir, die Fläche eines Parallelogrammes ist einfach Basis * Höhe. Die Fläche dieses Parallelogrammes ist b zum Quadrat. Nun wird das ganze hier interessant. Ich werde nun diesen Teil hier kopieren und einfügen, da es meiner Ansicht nach das interessanteste Segment unseres Bildes ist. Schauen wir, wie gut ich es anwählen kann. Nehmen wie diesen Teil genau hier. Ich kopiere es. Scrollen wir hier herunter. Und fügen es ein. Dieses Schaubild, das wir genau hier konstruiert haben, es ist eindeutig, wie groß dessen Fläche ist, des vernküpften Schaubildes. Hier muss ich ein wenig herauslöschen. In schwarz, damit es schöner aussieht. Wir machen das hier sauber, damit wir wirklich den für uns wichtigen Teil haben. Hier sauber machen, hier und auch hier... Hier sauber machen, hier und auch hier... Das hier unten mache ich auch mal weg, auch wenn wir wissen, dass diese Länge hier c war. Ich zeichne es einfach hier oben hin. Das war von unserer ursprünlichen Konstruktion. Wir wissen, das diese Länge hier c ist. Wir wissen, diese Höhe ist c. Wir wissen, das hier unten ist c. Meine Frage an euch ist: Wie groß ist die Fläche dieser kombinierten Form? Nun, es ist einfach: a zum Quadrat + b b zum Quadrat Das schreibe ich hin. Die Fläche ist einfach a zum Quadrat + b zum Quadrat, die Fläche dieser beiden Parallelogramme. Wie können wir nun Teile dieser Form so umgestalten, dass wir sie bezüglich c ausdrücken? Nun, es ist euch vielleicht aufgefallen, als ich diese Linie hier gezeichnet habe. Ich mache das in weiß. Wir wissen, dass dieser Teil Länge c besitzt. Das stammt von unserer ursprünglichen Konstruktion. Ups. Ich habe die Zeichung verloren. Das hat Länge c. Das hat Länge c. Und das hier hat dann auch Länge c. Wir können nun dieses obere Dreieck nehmen, das genau deckungsgleich mit unserem ursprünglichen Dreieck ist, und es nach unten verschieben. Merkt euch, die gesamte Fläche, einschließlich dieses rechte obere Dreieck, ist a zum Quardat + b zum Quadrat. Wir schließen diesen Teil hier unten aber aus, der unser ursprüngliches Dreieck war. Aber was passiert, wenn wir das hier nehmen? Schneiden wir es aus und fügen es ein. Alles, was ich tue, ist das Dreieck hier runter zu bewegen. Jetzt sieht es so aus. Ich habe also gerade einfach die Fläche umgestellt, die a zum Quadrat + b zum Quadrat betrug. Also ist diese gesamte Fläche dieses ganzen Rechtecks immer noch a zum Quadrat + b zum Quadrat. a zum Quadrat ist diese ganze Fläche hier. Das war vorher ein Parallelogramm. I habe einfach den oberen Teil des Parallelogrammes nach unten verschoben. b zum Quadrat ist diese ganze Fläche hier. Was ist das jetzt in Bezug auf c? Nun, wir wissen, dass dieses gesamte Segment ein c mal c - Quadrat ist. Die Fläche in Bezug auf c ist also einfach nur c zum Quadrat. a zum Quadrat + b zum Quadrat ist also gleich c zum Quadrat. Und wir haben ein weiteres Mal den Satz des Pythagoras beweisen.