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Video-Transkript
Lass uns das Volumen von ein paar weiteren Körpern berechnen und wenn wir noch Zeit haben, dann lösen wir noch ein paar Aufgaben zum Thema Flächeninhalt. Ich zeichne mal einen Zylinder. Das ist der obere Teil des Zylinders. Das ist die Höhe des Zylinders. Und dann nun kommt noch der Boden des Zylinders. Wenn er transparent wäre, könntest du die Rückseite des Zylinders sehen. Das sieht aus wie eine Dose. Die Höhe "h" des Zylinders ist 8. Ich verwende eine Maßeinheit. 8 Zentimeter, das ist die Höhe. Der Radius auf dem oberen Teil des Zylinders entspricht 4 Zentimetern. Wie groß ist das Volumen des Zylinders? Wie groß wird wohl das Volumen sein? Die Idee zur Lösung dieser Aufgabe ähnelt der von bereits gelösten Aufgaben. Wenn du den Flächeninhalt einer Seite bestimmst und dann weißt wie hoch der Zylinder ist, kannst du das Volumen bestimmen. Was wir also machen können, ist den Flächeninhalt des oberen Teils des Zylinders zu bestimmen. Dann multiplizieren wir ihn mit der Höhe. Damit erhalten wir das Volumen. Dann wissen wir, wie viele Quadratzentimeter in den oberen Teil passen. Wenn wir dieses Ergebnis mit der Höhe multiplizieren, wissen wir das Volumen des Zylinders. Wie können wir also den Flächeninhalt hier berechnen? Die Fläche hier oben entspricht dem Flächeninhalt eines Kreises. Du kannst ihn dir so vorstellen. Wenn du von oben auf den Zylinder guckst, dann siehst du einen Kreis. Das ist ein Kreis mit dem Radius von 4 cm. Der Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius von 4 Zentimetern entspricht pi mal r zum Quadrat. Wir verwenden also pi mal dem Radius 4 zum Quadrat. 4 zum Quadrat ergibt 16 mal pi. Die Maßeinheit verändert sich zum Zentimeter zum Quadrat. Oder anders gesagt Quadratzentimeter. Das ist der Flächeninhalt. Das Volumen ist also der Flächeninhalt mal der Höhe. Das Volumen entspricht also 16 pi Quadratzentimeter mal 8 cm (der Höhe des Zylinders). Wenn du multiplizierst, dann kannst du die Bestandteile des Terms vertauschen (Kommutativgesetz). Die Reihenfolge hat keinen Einfluss auf das Ergebnis, weil hier multipliziert wird. Das hier ist das Gleiche wie 16 mal 8. Ich zeig es dir. 8 mal 8 ist 64. 16 mal 8 ist doppelt so groß. Es ist also 128 pi. Jetzt hast du Zentimeter zum Quadrat mal Zentimeter. Damit erhalten wir Kubikzentimeter. Also insgesamt 128 pi Kubikzentimeter. Denk dran, pi ist nur eine Zahl. Wir verwenden aber das Symbol, weil die Zahl irrational ist und wenn du sie ausschreiben würdest, dann hätte sie kein Ende. 3,14159 und sie hört nicht auf und wiederholt sich nicht. Deswegen verwenden wir das Symbol pi. Zum Rechnen verwendest du deswegen auch einen Taschenrechner. Das hier ist ungefähr 3,14 mal 128. Wir liegen also knapp bei 400 Kubikzentimetern. So, wie würde wir den Flächeninhalt hier bestimmen? So, wie würde wir den Flächeninhalt hier bestimmen? Teil des Flächeninhalts ist der obere und der untere Teil. Das hier ist also Teil des Flächeninhalts. Der untere Teil hier ist auch Teil des Flächeninhalts. Wenn wir also den Flächeninhalt bestimmen wollen, müssen wir auf jeden Fall diese Flächen berücksichtigen. Der Flächeninhalt enthält also 16 pi Zentimeter zum Quadrat zwei Mal. Das ist 16 pi. Das hier ist auch 16 pi Quadratzentimeter. Wir müssen also 2 mal 16 pi Quadratzentimeter rechnen. Ich klammere die Einheit ein. Damit haben wir den oberen und unteren Teil der Dose berücksichtigt. Jetzt brauchen wir noch den Flächeninhalt des Teils der um den Zylinder herum geht. Du kannst dir vorstellen, dass du den Zylinder mit Papier umwickelst. Ich zeichne hier eine gepunktete Linie ein. Stell dir vor, du schneidest ihn hier ein. Du schneidest in die Seite der Dose. Und dann breitest du den Teil, der die Dose umfasst auf einer Gerade aus. Dann hättest du ein Rechteck. Du hättest also ein Stück Papier, bei dem die Länge hier genauso lang ist wie diese Länge hier. Der Teil wäre also komplett ausgebreitet. Diese zwei Enden -- lass mich das in magenta zeichnen -- diese zwei Enden haben sich vorher berührt. Und -- jetzt verwende ich eine Farbe dich bis jetzt noch nicht verwendet habe, ich markiere das in pink -- diese beiden Enden haben sich vorher berührt, als das Stück noch eingerollt war. Und sie haben sich hier berührt. Die Länge dieser Seite und die Länge dieser Seite entspricht der Höhe des Zylinders. Diese Strecke ist also 8 Zentimeter. Und diese Strecke hier ist auch 8 Zentimeter. Was jetzt noch brauchen, ist diese Länge hier. Bedenke, die Länge ist die Strecke die wir um den Zylinder wandern. Wenn du darüber nachdenkst, dann entspricht das dem Umfang des oberen oder unteren Teils des Zylinders. Was ist der Umfang? Der Umfang des Kreises hier entspricht dem Umfang des Kreises hier und das ist 2 mal dem Radius mal pi. Oder 2 pi mal dem Radius. 2 pi mal 4 Zentimeter entspricht 8 pi Zentimetern. Diese Länge hier ist also der Umfang des oberen oder unteren Teils des Zylinders. Er entspricht 8 pi Zentimetern. Wenn du den Flächeninhalt der Hülle des Zylinders bestimmen willst, ohne den oberen oder unteren Teil, dann breitest du sie und erhälst ein Rechteck. Und damit dann den Flächeninhalt dieses Teils. Dieser entspricht 8 cm mal 8 pi Zentimetern. Lass es mich aufschreiben. 8 Zentimeter mal 8 pi Zentimeter. Das entspricht 64 pi. 8 mal 8 entspricht 64. Die pi Zentimeter werden quadriert. Wenn du den Flächeninhalt des Ganzen wissen möchtest, dann brauchst du nun den oberen und unteren Teil bestimmt, welche wir hier bereits bestimmt haben. Jetzt brauchst du noch den Flächeninhalt um den Zylinder herum. Den haben wir auch bestimmt. Du musst also nur noch plus 64 pi Zentimeter zum Quadrat rechnen. Jetzt müssen wir das nur ausrechnen. Wir erhalten 2 mal 16 pi und das ergibt 32 pi. 32 pi Quadratzentimeter plus 64 pi. Ich verschiebe das Ganze etwas nach links. Plus 64 pi Zentimeter zum Quadrat. Und dann 32 plus 64 ergibt 96 Zentimeter zum Quadrat. Das Ergebnis ist also 96 pi Quadratzentimeter, was ein bisschen mehr als 300 Quadratzentimeter ist. Als wir den Flächeninhalt bestimmt haben, hatten wir ein Ergebnis in Quadratzentimetern. Das macht auch Sinn, weil ein Flächeninhalt ein zweidimensionales Konstrukt ist. Überlege wie viele Quadratzentimeter Papier wir auf der Oberfläche des Zylinders platzieren können. Als wir das Volumen bestimmt haben, hatten wir ein Ergebnis in Kubikzentimetern oder Zentimetern hoch 3. Hier versuchen wir herauszufinden, wie viele Einheitswürfel wir in dem Zylindern platzieren können. Deswegen heißt des Kubikzentimeter. Ich hoffe, dass dieses Video das Ganze etwas deutlicher gemacht hat.