Muster von Exponenten und Potenzen von 10

Wir werden gefragt, was 10 hoch 5 ist. Nun, 10^5 ist das Gleiche, wie wenn man eine 1 nimmt und diese mit 10 fünf Mal multipliziert. Machen wir das. ...drei...vier...fünf. Das ist 1 mal 10 mal 10 mal 10 mal 10 mal 10. Merke: eins...zwei...drei...vier...fünf. Und was ergibt das? 1 mal 10 ist 10. 10 mal 10 ist 100. 100 mal 10 ist 1'000. 1'000 mal 10 ist 10'000. 10'000 mal 10 ist 100'000. Wir haben also 100'000. Wie ihr vielleicht bemerkt hat, wird bei jeder Multiplikation mit 10 jeweils eine 0 dem Produkt zugefügt. Wenn wir mit 10 fünf Mal multiplizieren, dann fügen wir fünf 0 (Nullen) dem Produkt zu. So haben wir eine 1, welcher fünf 0 folgen. eins...zwei...drei...vier...fünf. 10 hoch 5 ist das Gleiche wie 100'000. Lasst uns etwas Ähnliches versuchen. Wie viele 0 (Nullen) hat das Produkt 67 mal 10 hoch 5? Es gibt hier verschiedene Lösungsansätze. 67 mal 10 hoch 5 ist das Gleiche wie 67 mal... Und es ist nun der gleiche Vorgang wie gerade zuvor. Also 67 mal 1 mal 10 mal 10 mal 10 mal 10 mal 10. Und wir haben das ja zuvor ausgerechnet. Wenn man 1 mit 10 fünf Mal multipliziert, dann erhält man eine 1 gefolgt von fünf 0. Eins...zwei...drei...vier...fünf. Wir erhalten also 100'000. ... Wenn wir uns nun hier dem Produkt zuwenden, sehen wir, dass 67 mal 1 schlicht 67 ergibt. Dann wird mit jeder Mulitiplikation mit 10 eine 0 hinzugefügt. Hier 67. Und nun multiplizieren wir mit 10, und zwar fünf Mal. Wir fügen also fünf 0 hinzug. Eins...zwei...drei...vier...fünf. Somit erhalten wir 6'700'000. Man kann auch wie folgt vorgehen: Dies ist das Gleiche wie 67 mal 100'000, also 67 und dann fünf 0 hier. Eins...zwei...drei...vier...fünf. Wir erhalten denselben Wert. Lasst uns ein weiteres Beispiel machen. Wie viele 0 hat der Quotient aus 5'700'000 geteilt durch 10 hoch 3? Wir wissen bereits, was 10 hoch 3 ist. 10 hoch 3 ist das Gleiche wie 1 mal 10 mal 10 mal 10, was wiederum 1'000 entspricht. Wir teilen also durch 1'000. Man kann es nun wie folgt schreiben: 5'700'000 geteilt durch 10 hoch 3 ist das Gleiche wie... 5'700'000 geteilt durch 10 mal 10 mal 10. Wir könnten hier noch die 1 setzen. Das würde aber den Wert nicht verändern. Dies entspricht wiederum 5'700'000 geteilt durch 1'000. Wie man auch vorgeht, jedes Mal, wenn man durch 10 teilt, fällt eine dieser 0 (Nullen) weg. Wenn man durch 10 drei Mal teilt... Wenn man durch 10 ein Mal teilt, dann streicht man jeweils eine 0. Nochmals durch 10, und eine weitere 0 fällt weg. Nochmals durch 10, und wir streichen eine weitere 0. Es verbleiben so 5'700. Vielleicht noch eine Überlegung: Wenn man durch etwas teilt, das drei 0 hat, dann fallen jeweils drei 0 weg. Wenn ich also jeweils drei 0 streiche, dann habe ich noch 5'700. Noch zum Verständnis: Ich konnte das nur machen, weil wir hier 1'000 haben. Wenn es 3'000 oder so wären bzw. 3 mal 1'000, könnten wir nur die 1'000 hier rausstreichen, nicht aber die 3 hier. Da müssten wir dann separat weiterschauen. Nur weil wir hier genau durch 1'000 teilen... Wir teilen mit einer Potenz von 10. Ich habe hier drei 0. Deshalb können wir diese drei 0 streichen. Lasst uns noch ein Beispiel machen. Eigentlich gleich zwei. Und hier sieht ihr Typen von Fragen, welche ihr auch bei den Übungen habt. Wenn 72,1 mit 10 hoch 3 multipliziert wird, dann verschiebt sich die Kommastelle ? Positionen nach ?. In der Übung würdet ihr hier wohl eine Auswahl erhalten. Merke: Wenn man multipliziert... Hier haben wir ja 10 hoch 3, also multiplizieren wir mit 1'000. Demnach wird die Zahl grösser. Sie wird anders herum gesagt nicht kleiner. Jedes Mal, wenn wir mit 10 multiplizieren, verschiebt sich die Kommastelle ein Mal nach rechts. So wird die Zahl grösser. Wir verschieben also diese Kommastelle. Wenn wir 72,1 mit 10 ein Mal multiplizierten, dann würde sich die Kommastelle eine Position verschieben. So würden wir 721 erhalten. Das macht Sinn. 72 mal 10 ist 720. 72,1 mal 10 ergibt 721. Wenn wir aber mit 10 drei Mal multiplizieren, dann verschieben wir die Kommastelle nicht etwa nur ein Mal, nicht zwei Mal, sondern drei Mal. Aber...Wie verschieben? Da gibt es ja gar nichts. Nun, man muss hier Nullen zufügen. Und so erhalten wir... Wir erhalten 72'100. Aber danach wurden wir nicht gefragt. Wir wurden nach dem Vorgang gefragt. Und wir sahen, dass wir die Kommastelle drei Positionen nach rechts verschoben. Und das Zentrale hier ist nun, dass man mit einer dreimaligen Multiplikation mit 10 respektive mit einer Multiplikation von 1'000 eine grössere Zahl erhält. Lasst uns nun noch dieses hier machen. Wenn 56 durch 10 hoch 3 geteilt wird, verschiebt sich die Kommastelle ? Positionen nach ? Geteilt durch 10 hoch 3 ist das Gleiche wie drei Mal durch 10 teilen. Und jedes Mal, wenn wir durch 10 teilen, wird die Zahl kleiner. 56...Und wo soll da nun diese Kommastelle sein? Nun, diese Stelle befindet sich hier. Wenn wir durch 10 teilen, dann wird diese Zahl kleiner. 56 wird nun zu 5,etwas. Es wird zu 5,6. Nochmals durch 10 geteilt wird es zu 0,56. Nochmals durch 10 und wir sind bei... Wenn ich die Kommastelle nochmals nach links verschiebe, dann verschiebe ich wohin? Nun, hier muss eine 0 gesetzt werden. Und wenn wir die Kommastelle drei Mal nach links verschieben, erhalten wir 0,056. Die 0 steht hier, um es klarer darzustellen. Wir haben also soeben die Kommastelle drei Positionen nach links verschoben. Wir erhielten damit einen kleineren Wert.