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Brüche vergleichen 2 (ungleiche Nenner)

Video-Transkript
Benutze die Symbole < (kleiner als), > (grösser) oder = (gleich), um die Brüche 21/28 und 6/9 zu vergleichen. Es gibt nun verschiedene Vorgehensweisen. Am einfachsten wäre es, wenn man den gleichen Nenner hätte, denn so könnte man es einfach vergleichen. Leider ist dem nicht so. Was wir aber machen können, ist einen gemeinsamen Nenner für beide Brüche zu finden, um danach die Zähler zu vergleichen. Wir können die Brüche aber auch zuerst vereinfachen, um dann einen gemeinsamen Nenner zu finden. Lasst es uns auf die Weise versuchen, denn ich glaube, dass wir es so am schnellsten lösen. 21/28...Ihr könnt sehen, dass man beides durch 7 teilen kann. Wir teilen also zuerst den Zähler durch 7 und dann auch den Nenner durch 7. Wir teilen 21 durch 7. Und wir teilen den Zähler... ...und wir teilen den Nenner durch 7. Wir machen das Gleiche mit dem Zähler und dem Nenner, sodass wir den Wert des Bruches nicht verändern. 21 durch 7 ist 3, und 28 durch 7 ist 4. 21/28 ist also der gleiche Bruch wie 3/4. 3/4 ist die vereinfachte Version davon. Machen wir das Gleiche für die 6/9. 6 und 9 sind beide durch 3 teilbar. Wir teilen also beides durch 3, sodass wir die vereinfachte Version erhalten. Wie gesagt beides durch 3. 6 geteilt durch 3 ist 2, und 9 geteilt durch 3 ist 3. 21/28 sind 3/4. Es handelt sich um den gleichen Bruch, einfach in einer anderen Darstellung geschrieben. Dieses hier ist die vereinfachte Version. Und 6/9 ist der genau gleiche Bruch wie 2/3. Wir können nun 3/4 mit 2/3 vergleichen. Der Vergleich zwischen 3/4 und 2/3. Der Nutzen aus dieser Vereinfachung ist nun, dass wir viel einfacher einen gemeinsamen Nenner finden können, als dies bei 28 und 9 der Fall wäre. Dort müssten wir grosse Zahlen multiplizieren. Und hier behandeln wir eher kleinere Zahlen. Der gemeinsame Nenner von 3/4 und 2/3 ist das kleinstmögliche gemeinsame Vielfache von 4 und 3. Die 4 und die 3 teilen keinen gemeinsamen Primfaktor. Das kleinstmögliche Vielfache ist demanch schlicht das Prodokut aus der Multiplikation der zwei Zahlen. Wir können also 3/4 auf einem Nenner von 12 schreiben. Und wir können auch die 2/3 als Bruch mit 12 im Nenner schreiben. Und ich erhalte die 12 anhand der Multiplikation aus 3 mal 4. Sie haben keine gemeinsamen Faktoren. Hier mit der 4 kann man es so sehen, dass wenn man die Primfaktorenzerlegung vornimmt, dann sind es 2 mal 2. Und die 3...Na ja, die 3 ist schon Primzahl. Deshalb können wir hier nicht weiter faktorisieren. Was wir nun wollen, ist eine Zahl, welche alle Primfaktoren von 4 und 3 enthält. Sie muss eine 2 beinhalten, nochmals 2, und eine 3. Nun, 2 mal 2 mal 3 ist 12. Und wie man auch vorgeht, so erhält man das kleinstmögliche Vielfache oder eben den gemeinsamen Nenner für 4 und 3. Um von 4 auf 12 zu gelangen, muss man mit 3 multiplizieren. Wir multiplizieren den Nenner mit 3, um auf 12 zu kommen. Folgerichtig müssen wir auch den Zähler mit 3 multiplizieren. 3 mal 3 ist 9. Hier drüben, um von 3 auf 12 zu kommen, müssen wir den Nenner mit 4 multiplizieren. Demnach müssen wir auch den Zähler mit 4 multiplizieren. Wir erhalten 8. Nun können wir die Brüche erneut vergleichen. Jetzt ist es wohl klar. 21/8 ist das genau Gleiche wie 9/12, und 6/9 ist das genau Gleiche wie 8/12. Welcher der beiden hat den höheren Wert? Nun, klar ist, dass wir jetzt den gleichen Nenner haben. 9/12 ist also grösser als 8/12. 9/12 ist grösser als 8/12. Oder, wenn du nochmals zurückschaust und merkst, dass 9/12 das Gleiche ist wie 21/28, dann könnte man sagen, dass 21/28 definitiv grösser ist als 6/9 (8/12). So, wir haben es geschafft. Eine andere Weise, wie man es hätte lösen können... ...Wir hätten es eigentlich gar nicht erst vereinfachen müssen. Und ich zeige es euch nun zum Spass. Wir machen es so, dass wir also 21/8 und 6/9 nicht erst vereinfachen. ...Ich suche eine Farbe, welche ich noch nicht benutzt habe... Wir nehmen also 21/28 und 6/9. Wir können nun einfach das kleinstmögliche gemeinsame Vielfache suchen. Also so, ohne zuvor erst zu vereinfachen. Wie sieht die Primfaktorenzerlegung von 28 aus? Das ist 2 mal 14. Dann 14 ist 2 mal 7. So sieht hier die Primfaktorenzerlegung aus. Primfaktorenzerlegung von 9, das ist 3 mal 3. Das kleinstmögliche gemeinsame Vielfache von 28 und 9 muss enthalten: 2, 2, 7, 3 und 3. Oder im Grunde: 28 mal 9. Lasst uns 28 mal 9 multiplizieren. Man kann das unterschiedlich machen. Man könnte es mit Kopfrechnen versuchen. 28 mal 10 wären 280. Und dann ziehen wir 28 ab. Wie viel würden wir erhalten? 252. Wenn das zu verwirrend ist, dann kann man es auch ausmultiplizieren. Lasst es auch so machen. 9 mal 8 ist 72. 9 mal 2 ist 18. 18 plus 7 ist 25. Wir erhalten ebenfalls 252. Wir halten also fest, dass der gemeinsame Nenner hier 252 sein wird; Das kleinstmögliche gemeinsame Vielfache von 28 und 9. Um von 28 auf 252 zu gelangen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Wir müssen 28 mal 9 multiplizieren. Wir multiplizieren 28 mal 9. Wir müssen demnach auch den Zähler mal 9 multiplizieren. Was ergibt 21 mal 9? Das ist nun einfacher, im Kopf auszurechnen. 20 mal 9 sind 180. Und 1 mal 9 ist 9. Hier erhalten wir also 189. Um von 9 auf 252 zu kommen, mussten wir mit 28 multiplizieren. Wir müssen folgerichtig auch den Zähler mit 28 multiplizieren, sodass wir den Wert des Bruches nicht verändern. 6 mal 28...6 mal 20 ist 120. 6 mal 8 ist 48. Wir erhalten 168. Lasst es mich ausschreiben, sodass wir sicher sind, dass keine Fehler passiert sind. Also, 28 mal 6...8 mal 6 ist 48. 2 mal 6 ist 12, plus 4 ist 16. Richtig, 168. Nun haben wir einen gemeinsamen Nenner hier. Somit können wir jetzt einfach die Zähler vergleichen. Und 189 ist klar grösser als 168. 189/252 ist klar grösser als 168/252. Oder man kann sagen ... dass die linke Seite mit 21/28 klar grösser ist als das hier auf der rechten Seite, und zwar 6/9.