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Du, als der Philosoph und Mathematiker aus der Antike, bist also zum Schluss gekommen, dass wenn die Multiplikation positiver und negativer Zahlen mit allem zusammenpassen soll, was du bis jetzt aufgebaut hast, mit allen anderen Eigenschaften der Multiplikation, die du bis jetzt kennst, dass Du entweder eine negative mal eine positive Zahl brauchst oder eine positive mal eine negative Zahl, um eine negative Zahl zu bekommen, und du brauchst eine negative mal eine negative Zahl, um eine positive Zahl zu bekommen. Du akzeptierst das also, es passt alles zusammen... aber es ist noch immer nicht ganz plausibel für Dich, Du möchtest eine etwas tiefere Einsicht bekommen als es bloss akzeptieren zu müssen, damit es übereinstimmt mit dem Distributivgesetz und anderen. Du versuchst ein weiteres Gedankenexperiment. Du sagst, "nun, was macht eine einfache Multiplikation damit?" Wenn ich sage, zwei mal drei, dann kann ich mir diese einfache Multiplikation hier eigentlich vorstellen als wiederholte Addition. Du könntest das also betrachten als zwei Dreier, also wörtlich genommen drei plus drei, Und schau, es gibt zwei davon, zwei von diesen. Oder Du könntest das als drei Zweier betrachten. Dann wäre das dasselbe wie zwei plus zwei plus zwei, und es gibt drei davon. Wie immer Du Dir das vorstellst, Du bekommst genau dieselbe Antwort. Das hier ist gleich sechs! Na gut, das hattest Du gewusst, bevor Du Dich an negative Zahlen gewagt hattest. Versuchen wir jetzt, eine von diesen negativen Zahlen zu machen, und sehen wir was passiert. Machen wir zwei-- zwei mal minus drei lass mich das Minus andersfarbig machen: Zwei mal Minus-- drei. Das kannst Du betrachten, dieselbe Analogie wie hier, es ist minus drei, zwei Mal, wäre das minus drei-- ich versuche Farbcodes zu machen-- minus drei, und dann noch ein minus drei. Oder Du könntest sagen minus drei minus drei. Oder, und das ist jetzt interessant, anstelle von da drüben, zwei mal plus drei, da hast Du zwei addiert, drei mal. Da aber zwei mal <u>minus</u> drei hier steht, könntest Du Dir auch vorstellen, dass Du zwei <u>subtrahierst</u>, und das drei Mal. Anstelle von-- hier oben hätte ich eigentlich schreiben können plus zwei plus zwei plus zwei, weil das hier eine positive Drei ist, aber weil wir das mit einer <u>negativen</u> drei machen, könnten wir uns vorstellen, dass dies bedeutet, zwei zu <u>subtrahieren</u>, drei Mal. Das wäre also zwei subtrahiert, Achtung, noch einmal zwei subtrahiert, und dann subtrahierst Du noch einmal zwei.-- Farben verwechselt. Minus zwei genau dort. Noch einmal, Du hast es drei Mal gemacht. Das war also eine negative Drei. Eigentlich ziehst Du zwei ab, und das drei Mal. Egal wie Du Dir das da drüben vorstellst, Du bekommst minus sechs heraus, Du bekommst minus sechs als Antwort. Jetzt bist Du schon zufrieden mit diesem Teil da: negativ mal positiv, oder positiv mal negativ, ist gleich negativ. Gehen wir jetzt zur wirklich unanschaulichen Aufgabe: Negativ mal negativ-- plötzlich heben sich die negativen irgendwie auf und ergeben eine positive Zahl. Warum ist das so? Nun, wir können das aus diesem Beispiel hier aufbauen. Sagen wir, wir hätten minus zwei. Sagen wir, wir hätten minus zwei, lass mich eine andere Farbe nehmen, sagen wir, wir haben eine minus zwei-- nein, die Farbe hatte ich schon-- minus zwei mal minus drei. Jetzt können wir - oder ich mache das hier zuerst. Wir multiplizieren immer noch wir etwas mit minus drei. Wir subtrahieren also mehrmals dieses Ding, drei Mal, was immer das Ding ist, jetzt ist das Ding aber keine positive Zwei. Das Ding, das wir dreimal subtrahieren, ist eine negative Zwei. Lass mich das klar machen: das hier sagt, wir subtrahieren etwas drei Mal, wir subtrahieren etwas drei Mal. Also etwas subtrahieren, etwas subtrahieren, etwas subtrahieren. Drei Mal. Das sagt uns dieser Teil hier. Und wir machen das genau drei Mal. Dort drüben war eine positive Zwei, die wir drei Mal subtrahiert haben. jetzt subtrahieren wir eine negative Zwei. und wir wissen schon vom Subtrahieren negativer Zahlen, wir haben diese Intuition schon aufgebaut, dass etwas Negatives subtrahieren dasselbe ist wie-- es ist wie jemandem die Schulden wegnehmen. Es ist dasselbe wie etwas Positives zu addieren, und daher wird das hier dasselbe wie zwei plus zwei plus zwei, was Dir wiederum eine positive Sechs gibt. Du kannst dieselbe Logik hier unten verwenden. Anstelle minus zwei dreimal zu subtrahieren, und das hätte ich schreiben können als minus drei, in diesem Beispiel, minus drei, minus drei, und wir haben das addiert, wir hatten es addiert-- ich mache hier ein Pluszeichen, um das klar zu machen, dort drüben hatten wir es zweimal addiert, wir haben minus drei zwei mal addiert. Hier unten, da wir eine minus zwei haben, <u>subtrahieren</u> wir minus drei zwei Mal. Wir subtrahieren also etwas, und wir subtrahieren es noch einmal, und dieses etwas ist unsere negative Drei, es ist unser minus drei, also minus, und wir geben unsere Drei dort hin. Noch einmal: eine negative Drei zu subtrahieren ist wie jemandes Schulden wegzunehmen, Du gibst ihnen eigentlich Geld. Das ist dasselbe wie drei plus drei zu addieren, was wieder sechs ist. Jetzt bist Du, als der Philosoph aus der Antike, schon recht zufrieden. Nicht nur ist das alles konsistent mit der ganzen Mathematik, die Du kennst, das Distributivgesetz, das Assoziativgesetz, Multiplizieren, alle diese Dinge die Du schon weisst, und jetzt ist für Dich das Ganze auch logisch. Es ist eigentlich sehr konsistent mit Deinem ursprünglichen Verständnis, oder einem der möglichen Auffassungen, der Multiplikation, nämlich als wiederholte Addition.