Aktuelle Zeit:0:00Gesamtdauer:5:47
0 Energiepunkte
Studying for a test? Prepare with these 8 lessons on Negative Zahlen.
See 8 lessons
Video-Transkript
Sagen wir, du wärst ein Philosoph aus der Antike, der soeben die Mathematik von Grund auf aufbaut und Du hättest schon ein Verständnis dafür, was eine negative Zahl sein könnte, oder sein sollte, und du wüsstest wie man negative Zahlen addiert oder subtrahiert, aber nun stehst du vor einem Rätsel: Was passiert, wenn man negative Zahlen multipliziert? Wenn du entweder eine positive Zahl mal eine negative Zahl multiplizierst, oder zwei negative Zahlen miteinander multiplizierst. Also, zum Beispiel-- du bist nicht ganz sicher was passieren sollte, wenn Du multiplizierst (ich wähle bloß zwei Zahlen, von denen eine positiv und die andere negativ ist) Was würde passieren, wenn Du 5 mal -3 [minus 3] multiplizierst? Du bist Dir einfach noch nicht ganz im Klaren. Du bist Dir auch nicht ganz sicher, was passieren sollte, wenn du zwei negative Zahlen miteinander multiplizierst. Also sagen wir -2 [minus 2] mal -6 [minus 6]. Das ist Dir auch nicht klar. Was du aber weisst, weil Du eine Mathematikerin oder ein Mathematiker bist: wie immer du das definierst, oder was immer das sein soll, es sollte hoffentlich mit all den anderen Eigenschaften der Mathematik vereinbar sein, die du schon kennst. und idealerweise mit all den anderen Eigenschaften der Multiplikation. Das würde Dir Sicherheit geben, dass Du das richtig machst. Später können wir dann über andere Wege nachdenken, wie wir intuitiv verstehen könnten, was eine negative Zahl sein könnte, und warum das Sinn macht. Aber damit du das im Einklang mit dem Rest der Mathematik machst, die du kennst, machst Du ein kleines Gedankenexperiment. Du sagst: gut, was soll fünf mal drei plus -3 [minus 3] gleich sein? Also, Du hast schon eine Philosophie für das Addieren von negativen Zahlen, und für das addieren positiver Zahlen zu negativen Zahlen. Du weisst daß -3 das Gegenteil von 3 ist, aber wenn Du 3 zu -3 addierst, bekommst du Null, so das hier wird gleich fünf mal Null wegen dem, was du schon weisst über das Addieren einer negativen Zahl zu einer positiven Zahl, und jede Zahl mal Null ist gleich Null, so dieser Ausdruck dort sollte Null sein. Andererseits sagst du: ich will dass positive und negative Zahlen so multiplizieren, dass das Distributivgesetz noch gilt, ich sollte also diese Fünf verteilen können, und damit Mathe konsistent ist, und Mathe <u>soll</u> konsistent sein, sollte ich genau dieselbe Antwort bekommen. Verteilen wir also diese Fünf nach dem Distributivgesetz, sodass wir fünf mal drei bekommen, ausgeschrieben fünf mal drei-- ich schreibe so ein X als Multiplikationszeichen, nicht diesen Punkt fünf mal drei, so habe ich das hierhin verteilt plus fünf mal minus drei mache ich gelb, fünf mal -3 und dieses Ganze, haben wir eben gesagt, soll Null sein, das soll Null sein. Also, fünf mal drei das sind zwei positive Zahlen, wir wissen was das gibt, das gibt fünfzehn. Jetzt bekommen wir dieses Ding, fünfzehn plus plus was immer fünf mal minus drei ist, muss gleich Null sein, damit es mit der ganzen restlichen Mathematik übereinstimmt die wir kennen. Also, was plus fünfzehn ist gleich Null? Nun, das Gegenteil von fünfzehn. Damit das wahr ist, damit das übereinstimmt mit der ganzen restlichen Mathematik die wir kennen, muss das hier drüben gleich minus fünfzehn sein. Daher sagst Du, fünf mal minus drei, damit das übereinstimmt mit der ganzen restlichen Mathematik die wir kennen, muss das gleich minus fünfzehn sein. Das stimmt auch überein mit der intuitiven Lösung, wenn wir minus drei fünf mal hintereinander addieren. Jetzt, ein bisschen schwieriger zu verstehen ist, wie man zwei negative Zahlen multipliziert. Aber wir können genau dasselbe Gedankenexperiment machen. Wir wollen, daß was immer da herauskommt, übereinstimmt mit der übrigen Mathematik, die wir kennen, also können wir dasselbe Gedankenexperiment machen: Was würde minus zwei mal sechs plus minus sechs gleich sein? Also, sechs plus -6 [minus sechs] wird Null. Minus zwei mal Null, irgendetwas mal Null, muss gleich Null sein, aber dann können wir auch wie vorher verteilen: minus zwei mal sechs, also bekommen wir minus zwei mal sechs, plus -- plus minus zwei mal minus sechs-- plus minus zwei mal minus sechs, und dieses Ganze da muss alles gleich Null sein. Jetzt, genau wie in dem Gedankenexperiment mit der Fünf, das wir eben gemacht hatten, wir sagten, "das hier muss gleich minus zwölf sein", oder wir könnten es so betrachten, dass wir zwei Mal sechs Schritte nach links gehen auf der Zahlengerade, dann kommen wir bei minus zwölf an. Oder du könntest sagen, sechs mal hintereinander minus zwei addieren, dann kommst Du auch bei minus zwölf an, und jetzt, das haben wir auch dort oben gesehen, wenn wir eine positive und eine negative Zahl multiplizieren, bekommen wir eine negative. Daher könnte das hier-- oder wir <u>wissen</u>, das hier ist minus zwölf. Also haben wir minus zwölf, plus was immer diese Geschichte ist, muss gleich null sein. Damit es im Einklang ist mit der ganzen restlichen Mathematik die wir kennen! Also, was plus -12 ist gleich Null? Nun, plus zwölf plus minus zwölf ist gleich Null, also das hier muss gleich plus 12 sein, damit es übereinstimmt mit der ganzen übrigen Mathematik, die wir kennen. Daher kommt also die Vorstellung, dass das plus zwölf ist. Damit lasse ich dich mal, und schaue, ob ich ein paar andere Videos machen kann, die Dir auch verständlich machen können, warum das so richtig ist.