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Hallo! Jetzt lernen wir ein bisschen mehr über den Einheitskreis. Mal sehen, ob wir damit die unsere frühere Definition der Winkelfunktionen erweitern können. Und wir reden auch darüber, wie wir das benutzen können, wenn uns GAGA/HHAG nicht weiter helfen kann. Zuerst lasst uns wiederholen, was Sinus, Kosinus und Tangens oder GAGA/HHAG sind. Ich werde das in dieser Ecke schreiben. Wenn wir einen rechten Winkel haben, dann ist sein Sinus das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse. Und der Kosinus ist das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse. Der Tangens ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. Bis jetzt war das in Ordnung. Aber was passiert, wenn dieser Winkel kleiner als 90 Grad ist? Oder was, wenn dieser Winkel größer als 90 Grad ist? Was ist, wenn er negativ ist? Deshalb brauchen wir eine Definition für den Einheitskreis. Lasst uns die Definition eines Einheitskreises wiederholen. Zuerst lasst mich das löschen. Diesen Einheitskreis habe ich aus der Wikipedia. Und ich möchte, dass derjenige, der das gezeichnet hat, die gebührende Anerkennung erhielt. Die Definition am Einheitskreis erweitert die Definition an GAGA/HHAG. Also der Einheitskreis ist nur ein Kreis, dessen Mittelpunk mit dem Nullpunkt übereinstimmt und dessen Radius die Länge 1 hat. Er schneidet die x-Achse bei 1, 0 und -1, 0. und die y-Achse bei 0, 1und 0, -1. Wenn wir den Einheitskreis definieren wollen, …fangen wir mit dem cos(θ) an… nehmen wir einen Winkel θ, der zwischen zwei Radien des Einheitskreises liegt. Ein Radius ist der positive Teil der x-Achse zwischen den Punkten 0 und 1. Also ein von den Radien ist diese Strecke hier. Nehmen wir an, dass wir einen Winkel zwischen, sagen wir, dem Basis-Radius und einem anderen Radius haben. Das ist unser Winkel. Nach der Definition entspricht der Kosinus von diesem Winkel der x-Koordinate dieses Punktes des Einheitskreises und der Sinus entspricht der y-Koordinate. Zum Beispiel, in diesem Fall …wenn ihr seht, was hinter meiner Gerade ist…30 Grad ist gleich π/6. Das heißt, dass dieser Winkel 30 Grad oder π/6 Radiant gleich ist. Nach der Definition ist der Sinus von 30 Grad gleich ½, und der Kosinus von 30 Grad ist √ 3/2. Ich möchte ihnen zeigen, dass die Definition am Einheitskreis mit der Definition an GAGA/HHAG übereinstimmt und sogar sie erweitert. Mal sehen, wie wir von der Definition an GAGA/HHAG zur der Definition am Einheitskreis kommen. Lasst mich auf der Symbolleiste "Radiergummi" finden, das löschen, und dann wieder zum "Stift" zurückkehren. So, ich bin bereit. Zurück zum Winkel θ. Nehmen wir an, dass das Winkel θ ist. Wie wir bereits sagten, ist dieser Winkel 30 Grad oder π/6. Lasst uns eine Linie von diesem Punkt zur x-Achse zeichnen. Wie ihr seht, ist diese Linie senkrecht, d.h. dass dieser Winkel 90 Grad ist. Das ist ein rechter Winkel. Wenn dieser Winkel 30 Grad beträgt… θ ist 30 Grad … und das ist 90 Grad… Und dieser Winkel beträgt 60 Grad, weil die Winkelsumme 180 Grad ist. Also das ist ein 30-60 -90 Dreieck. Was wissen wir über solche Dreiecke? Die Gegenkathete zum 30 Grad Winkel ist die Hälfte der Länge der Hypotenuse. Ich hoffe, ihr wisst das noch. Hier ist die Kathete, die dem 30 Grad Winkel gegenüber liegt. Und wo ist die Hypotenuse? Hier ist sie. Die Länge der Hypotenuse ist 1, weil das der Einheitskreis ist. Sie ist auch der Radius des Einheitskreises. Also die Länge der Hypotenuse ist 1, und die Länge die Kathete, die dem 30 Grad Winkel gegenüber liegt, ist gleich ½. Ich habe einfach die Regel für 30-60-90 Dreiecke angewendet. Und wie lang ist die Kathete, die dem 60 Grad Winkel gegenüber liegt? Sie ist gleich √3/2 mal die Hypotenuse. Wir haben festgestellt, dass diese Seite √3/2 ist. Und diese Seite ist ½. Wenn wir das ansehen, können wir sofort die Koordinaten dieses Punktes nennen? Die x-Koordinate ist √3/2. Hier ist sie, dieser Abstand. Und die y-Koordinate ist die Länge dieser Seite oder ½. Das war bereits gegeben. Die x-Koordinate ist √3/2 und y-Koordinate ist ½. Jetzt möchte ich euch erklären, warum die x-Koordinate als der cos(θ) und die y-Koordinate als der sin(θ) betrachtet werden können. Was sagt uns unsere Wunderformel? Fangen wir mit dem Kosinus an. Was steht für den Kosinus? AH Der Kosinus ist das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse, stimmt es? Wo ist die Ankathete in diesem Dreieck? Wir versuchen der Kosinus von dem 30 Grad Winkel herauszufinden. Die Ankathete zu diesem Winkel ist natürlich hier. Sie ist gleich √ 3/2. Wir haben das gerade ermittelt. Wo ist die Hypotenuse? Hier ist die Hypotenuse. Und ihre Länge ist 1, weil das der Einheitskreis ist. Und das ist sein Radius. Der Kosinus von diesem Winkel ist gleich √3/2 (das ist die Ankathete) durch 1 (das ist die Hypotenuse). Das heißt, dass √ 3/2 die x-Koordinate ist. Das Gleiche mit dem Sinus. Was steht für den Sinus? GH Der Sinus ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse. Wie lange ist die Gegenkathete? Sie ist gleich ½. Und die Hypotenuse ist gleich 1. Das heißt, dass Sinus gleich ½ durch 1 ist. Hier haben wir ihn. Also die Definition am Einheitskreis ist kein Ersatz für die GAGA/HHAG, sondern nur ihre Erweiterung. Die klassischen Regeln sind für die Winkel geeignet, die kleiner als 90 Grad sind. Aber wenn wir einen 90 Grad Winkel haben, wird die Anwendung von unserer Wunderformel komplizierter. Besonders, wenn man die Winkel größer als 90 Grad oder sogar negative Winkel hat. Das ist nicht am Einheitskreis angegeben, aber ein 330 Grad Winkel ist das gleiche wie ein negativer 30 Grad Winkel, weil man in beide Richtungen um den Kreis herum gehen kann. Wir können den Sinus- oder den Cosinus-Wert von Million Grad Winkel herausfinden, wenn wir um den Kreis mehrmals herumgehen. Übrigens der Tangens ist das Verhältnis des Sinus zum Kosinus oder y durch x. Um ein wenig zu üben, könnt ihr selbstständig die übrigen Werte finden. Ihr könnt ihre Kenntnisse über den Einheitskreis, die 30-60-90-Dreiecke, die 45-45- 90 - Dreiecke und über den Satz des Pythagoras anwenden. Ich wünsche euch viel Spaß!