Grad in Bogenmaß

Wir sollen 150 Grad und -45 Grad zu Radianten umformen. Denken wir über den Zusammenhang zwischen der Gradzahl und dem Radianten nach, und um dies zu tun male ich hier einen kleinen Kreis. Das ist der Mittelpunkt des Kreises und ich gebe mein bestes um einen Freihand gezeichneten Kreis zu zeichnen. Okay, wenn wir die Gradzahl bemessen würden, wenn wir eine Runde um den Kreis ziehen würden so wie hier, wie viel Grad wären dies? Wir wissen, dass dies 360 Grad wären. Wenn wir nun dasselbe erneut tun würden, wie viele Radianten wären dies, wenn wir einmal um den Kreis fahren würden? Wir müssen uns erinnern: Wenn wir in Radiant-Einheiten messen sprechen wir über den Bogen, der den Winkel schneidet. Also wenn du den ganzen Kreis abschreitest, sprichst du über die Bogenlänge des gesamten Kreises, oder eigentlich den Kreisumfang des Kreises. Und du sagst aus, wie viele Radianten den Umfang des Kreises darstellen. Du weißt, dass der Umfang des Kreises gleich 2 Pi mal Radius, oder du kannst sagen, dass die Laenge des Umfangs des Kreises 2Pi mal Radius ist. Wenn du die exakte Laenge bestimmen willst, musst du nur die Länge des Radius herausfinden und diese mit 2Pi multiplizieren. Das resultiert aus der Defintion von Pi, aus der Formel für den Umfang eines Kreises. Wenn wir den ganzen Kreis abschreiten, ist dies auch 2 Pi mal Radiant. Das sagt uns, dass 2 Pi mal Radiant als ein Winkelmesser, dasselbe ist wie, ich schreibe es auf, 360 Grad. Und dann können wir diese Beziehung aufgreifen und sie verändern, auf mehrere Arten. Wenn du sie etwas vereinfachen willst, kannst du beide Seiten der Gleichung durch 2 teilen. In diesem Fall erhält man, wenn du beide Seiten durch 2 teilst, Pi Radianten ist gleich180 Grad. Wie können wir diesen Zusammenhang jetzt nutzen, um herauszufinden wieviel 150 Grad wären? Diesen Zusammenhang, wir könnten ihn anders aufschreiben. Wir könnten beide Seiten durch 180 Grad teilen und wir erhielten Pi mal Radiant geteilt durch 180 Grad ist gleich 1, was nur ein andere Beschreibung für "Es gibt Pi Radianten für 180 Grad" ist. Oder du kannst sagen: Pi durch 180 Radianten pro Grad. Oder eine andere Option: Du kannst beide dieser Gleichungsseiten durch Pi Radianten teilen. Du würdest dann auf der linken Seite 1 herausbekommen und auf der rechten Seite 180 Grad für jeden Pi Radiant erhalten. Oder du könntest es als 180 durch Pi Grade pro Radianten interpretieren. Wie können wir nun das Gesuchte ausrechnen? Wandeln wir nun 150 Grad in Radianten um. Lasst es mich aufschreiben. 150 Grad Diese wollen wir in Radianten umwandeln, also müssen wir herausfinden, wie viele Radianten pro Grad vorhanden sind. Ich mache es farbig. Wir wollen herausfinden wie viele Radianten es pro Grad gibt. Ich schreibe es in grün auf. Pro Grad. Wie viele Radianten gibt es pro Grad? Wir wissen schon, dass es Pi Radianten für 180 Grad gibt oder es gibt Pi, ich schreibe es in gelb, es gibt Pi durch 180 Radianten pro Grad. Und nun können wir multiplizieren, und dies funktioniert, da wir Gradzahlen im Zähler und Gradzahlen im Nenner haben. Und es bleibt 150 mal Pi geteilt durch 180 Radianten übrig. Was bekommen wir heraus? Es wird, ich schreibe es noch mal auf, 150 mal Pi und das geteilt durch 180 und wir bekommen das Ergebnis in Radianten heraus. Und wenn wir es vereinfachen: können wir den Zähler und den Nenner beide durch 30 teilen. Wenn du den Zähler durch 30 teilst, erhältst du 5. Und wenn du den Nenner durch 30 teilst, erhältst du 6. Du erhältst 5 Pi durch 6 Radianten oder 5/6 Pi Radianten, abhängig davon, wie du es nennen möchtest. Nun machen wir dasselbe für -45 Grad. Was würdest du nun für -45 Grad erhalten, wenn du es in Radianten transformieren müsstest? Es ist derselbe Prozess. Ich mache dieses Beispiel etwas schneller. Du hast -45 Grad. Ich schreibe es auf. -45 Grad mal Pi Radianten für 180 Grad. Die Gradzahlen heben sich auf, und du erhälst -45 Grad Pi pro 180 Radianten. Dies ist gleich zu -45 Pi durch 180, durch 180 Radianten. Wie können wir dies vereinfachen? Es sieht so aus, als ob beide den kleinsten gemeinsamen Teiler 9 hätten, 9 mal 5 ist 45, das ist 9 mal 20, also werden beide durch 45 teilbar sein. Was mache ich? Wenn du den Zähler durch 45 teilst, erhältst du 1. Wenn du den Nenner durch 45 teilst, erhältst du 4. Du erhältst -Pi durch 4 Radianten. Das ist gleich -Pi durch 4 Radianten. Und wir sind fertig.