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Video-Transkript

Es ist Euch jetzt sicher bekannt, dass Winkel in Graden gemessen werden. Ihr seid es nun wahrscheinlich gewohnt, Winkel in Grad zu messen. Ihr seid es nun wahrscheinlich gewohnt, Winkel in Grad zu messen. Wir verwenden den Begriff im Alltag. Dazu haben auch einige Beispiele in dieser Playlist behandelt, wie z.B. diese Winkel hier, Dazu haben auch einige Beispiele in dieser Playlist behandelt, wie z.B. diese Winkel hier, einen sogenannten 30°- Winkel. Solch einen Winkel nennt man 90°-Winkel. Solche einen Winkel nennt man 90°- Winkel. Dazu verwenden wir dieses Symbol. Bei einem 180°- Winkel haben wir einfach eine gerade Linie. Bei einem 180°- Winkel haben wir einfach eine gerade Linie. Bei einem 180°- Winkel haben wir einfach eine gerade Linie. Bei 360° haben wir eine komplette Rotation. Bei 360° haben wir eine komplette Drehung. Beim Eiskunstlauf während der Olympischen Spiele sagt man zu einer vollen Drehung einfach 360°. Beim Eiskunstlauf während der Olympischen Spiele sagt man zu einer vollen Drehung einfach 360°. Man sagt: Er machte eine 360°-Drehung. Oder beim Skateboarden und anderen ähnlichen Sportarten. oder beim Skateboarden und ähnlichen Sportarten. Aber etwas ist zu bemerken, was nicht ganz so selbstverständlich ist: Nämlich dass es sich beim Konzept des Grades um eine menschliche Erfindung handelt. Es ist wichtig zu beachten, dass diese Darstellungsweise nur ein menschliche Erfindung ist. Es gibt noch andere Wege, Winkel zu messen. Bei genauem Nachdenken fragt man sich: "Warum nennt man eine volle Rotation eigentlich als 360°"? Bei genauem Nachdenken fragt man sich: "Warum nennt man eine volle Rotation eigentlich als 360°"? Dazu gibt es ein paar Theorien. Denkt mal selbst darüber nach! Warum sind gerade 360° ein voller Kreis? Dazu gibt es ein paar Theorien. Eine ist der antike Kalender. Unser Kalender ist diesem sehr ähnlich, nur dass antike Kalender 360 Tage besaß. Unser Kalender ist diesem sehr ähnlich, nur dass antike Kalender 360 Tage besaßen. Antike Astronomen beobachteten, dass sich Dinge scheinbar 1/360 vom Himmel pro Tag bewegten. Antike Astronomen beobachteten, dass sich Dinge am Himmel scheinbar 1/360 pro Tag bewegten. Die Babylonier hatten eine andere Theorie: Gleichseitige Dreiecke. Die Babylonier hatten eine andere Theorie: Gleichseitige Dreiecke, ...und sie hatten ein Zahlensystem mit 60 Ziffern. ...und sie hatten ein Zahlensystem mit 60 Ziffern. Wir haben dagegen lediglich 10 Ziffern. Wir haben dagegen lediglich 10 Ziffern. Wir haben dagegen lediglich 10 Ziffern. Daher teilen wir durch 10, während die Babylonier wohl oft durch 60 teilten. Daher teilen wir durch 10, während die Babylonier wohl oft durch 60 teilten. Teilt man einen Kreis in sechs gleichseitige Dreiecke... Teilt man einen Kreis in sechs gleichseitige Dreiecke... und davon jedes wieder in 60 Teile... - wegen des 60er-Systems - dann kommt man am Ende auf 360°. Ich möchte Euch hier einen anderen Weg zum Messen von Winklen zeigen. Ich möchte Euch hier einen anderen Weg zum Messen von Winklen zeigen. Auch wenn dieser Weg weniger intuitiv zu sein scheint. Auch wenn dieser Weg weniger intuitiv zu sein scheint. Mathematisch gesehen ist er exakter. Er verwendet nicht das 60er-Zahlensystem. Er verwendet nicht das 60er-Zahlensystem. Ein nicht menschlicher Besucher auf der Erde würde diese Gradeinteilung nicht verwenden. Ein nicht menschlicher Besucher auf der Erde würde diese Gradeinteilung nicht verwenden. Am wenigsten bei astronomischen Phänomenen. Die Aliens würde wahrscheinlich ein System nutzen, welches wir als "Radiant" bezeichnen. Diese zeichnet sich durch eine höhere mathematische Reinheit aus. Lasst uns zunächst eine Definition des Begriffes Radiant geben. Ich zeichne einen Kreis. Ich zeichne einen Kreis. Nicht schlecht. Dazu noch den Kreismittelpunkt und den Radius angezeichnet. Dazu noch den Kreismittelpunkt und den Radius angezeichnet. Dieser Radius - der Begriff ist dem "Radiant" sehr ähnlich, was kein Zufall ist. Dieser Radius - der Begriff ist dem "Radiant" sehr ähnlich, was kein Zufall ist. Das ist kein Zufall. Dieser Kreis habe also einen Radius der Länge r. Konstruieren wir nun einen WInkel. Diesen nenne ich Theta. Konstruieren wir also den Winkel Theta. Konstruieren wir also den Winkel Theta. Für das Beispiel nehmen wir einfach an, dieser Winkel sei die exakt genaue Bemessung. Für das Beispiel nehmen wir einfach an, dieser Winkel sei die exakt genaue Bemessung. Wir sehen hier, dass der Bogen diesem Winkel hier gegenüberliegt. Wir sehen hier, dass der Bogen diesem Winkel hier gegenüberliegt. Zeichnen wir den Winkel an. Zeichnen wir den Winkel an. Schau Dir den Bogen an, der dem Winkel gegenüberliegt. Dieser Bogen schneidet beide Seiten des Winkels. Dieser Bogen schneidet beide Seiten des Winkels. Dieser Bogen liegt also gegenüber dem Winkel Theta. Schreiben wir das hin. "Liegt diesem Bogen, liegt Winkel Theta gegenüber." Nehmen wir an, Theta besitze die exakt richtige Größe, sodass dieser Bogen auch die gleiche Länge wie der Kreisradius besitzt. Der Bogen hat immer den gleichen Wert wie der Kreisradius. Dieser Bogen besitzt also auch die Länge r. Wie würden wir also in diesem Fall ein neues System zur Winkelmessung definieren? Wie würden wir also in diesem Fall ein neues System zur Winkelmessung definieren, ...den wir Radiant nennen? Als wieviele Radianten (ähnlich zum "Radius") würdest du diesen Winkel definieren? Wir können Radianten als andere Bezeichnung für Radiusse bzw. Radii betrachten. Wir können Radianten als andere Bezeichnung für Radiusse bzw. Radii betrachten. Wir können Radianten als andere Bezeichnung für Radiusse bzw. Radii betrachten. Das hier liegt gegenüber einem Bogen mit Länge 1 Radius. Das hier liegt gegenüber einem Bogen mit Länge 1 Radius. Warum nennen wir das nicht einfach 1 Radiant? So ist ein Radiant definiert: Wenn wir einen Kreis und einen Winkel von einem Radianten haben, dann ist der gegenüberliegende Bogen exakt einen Radius lang. Der Bogen gegenüber dem Winkel entspricht einem bestimmten Radius. Diese Betrachtungsweise ist hilfreich, wenn wir beginnen, mehr und mehr Kreistypen zu interpretieren. Diese Betrachtungsweise ist hilfreich, wenn wir beginnen, mehr und mehr Kreistypen zu interpretieren. Haben wir eine Gradzahl, müssen wir ein wenig mathematisch denken und uns vorstellen, wie all das Haben wir eine Gradzahl, müssen wir ein wenig mathematisch denken und uns vorstellen, wie all das mit dem Umfang zusammenspielt, um zu verstehen, wieviele Radiusse diesem Winkel gegenüberliegen. Hier sagt uns der Winkel in Radianten die exakte Bogenlänge, welche den Winkeln gegenüberliegt. Hier sagt uns der Winkel in Radianten die exakte Bogenlänge, welche den Winkeln gegenüberliegt. Machen wir dazu ein paar Denkexperimente. Was wäre der Winkel in Radianten, wenn wir - dazu zeichne ich hier einen weiteren Kreis. Was wäre der Winkel in Radianten, wenn wir - dazu zeichne ich hier einen weiteren Kreis. Was wäre der Winkel in Radianten, wenn wir - dazu zeichne ich hier einen weiteren Kreis. Das ist der Mittelpunkt, wir starten genau hier. Wie groß wäre dieser Winkel, wenn ich diesen in Radianten messen müsste. Wie groß wäre dieser Winkel, wenn ich diesen in Radianten messen müsste. Ihr könnt euch dies fast als Radien vorstellen. Wie groß wäre dieser Winkel also? Eine komplette Rotation, in Gradzahl wären das 360°. Eine komplette Rotation, in Gradzahl wären das 360°. Was wäre das hier nach dieser Definition in Radianten. Betrachten wir den Bogen, welcher diesem Winkel gegenüberliegt. Der Bogen, der diesem Winkel gegenüberliegt, ist der gesamte Kreisumfang. Der Bogen, der diesem Winkel gegenüberliegt, ist der gesamte Kreisumfang. Der Bogen, der diesem Winkel gegenüberliegt, ist der gesamte Kreisumfang. Wie lässt sich jetzt der Kreisumfang in Radien ausdrücken? Wie lässt sich jetzt der Kreisumfang in Radien ausdrücken? Wenn dieser Radius hier die Länge r besitzt, was isr dann der Kreisumfang ausgedrückt in r? Wenn dieser Radius hier die Länge r besitzt, was isr dann der Kreisumfang ausgedrückt in r? Nun, das wissen wir. Das sind 2*pi*r. Das sind 2*pi*r. Zurück zum Beispiel: Wieviele Radien entspricht dieser dem Winkel gegenüberliegende Kreisbogen? Zurück zum Beispiel: Wievielen Radien entspricht dieser dem Winkel gegenüberliegende Kreisbogen? Nun, es sind 2*pi Radien. 2*pi*r Diesen Winkel hier nennen wir mal x. Diesen Winkel hier nennen wir mal x. x wäre in diesem Fall 2*pi Radien. Und es liegt einem Kreisbogen der Länge 2*pi Radien gegenüber. Wäre der Radius eine Einheit, wären das hier 2*pi*1, 2*pi Radien. Wäre der Radius eine Einheit, wären das hier 2*pi*1, 2*pi Radien. Auf dieser Grundlage versuchen wir nun, zwischen Radien und Grad und andersherum umzurechnen. Auf dieser Grundlage versuchen wir nun, zwischen Radien und Grad und andersherum umzurechnen. Auf dieser Grundlage versuchen wir nun, zwischen Radien und Grad und andersherum umzurechnen. Wenn wir wie hier eine komplette Umdrehung vollführen, also 2*pi Radien, wieviel wäre das in Grad? Wenn wir wie hier eine komplette Umdrehung vollführen, also 2*pi Radien, wieviel wäre das in Grad? Wenn wir wie hier eine komplette Umdrehung vollführen, also 2*pi Radien, wieviel wäre das in Grad? Nun, das wissen wir bereits. Eine komplette Umdrehung in Grad ist 360°. Eine komplette Umdrehung in Grad ist 360°. Ich kann es entweder als Wort "Grad" aussschreiben oder dieses Grad-Symbol ° verwenden. Ich kann es entweder als Wort "Grad" aussschreiben oder dieses Grad-Symbol ° verwenden. Ich schreibe es aus. Das macht es etwas klarer, dass wir beide Einheiten in beiden Fällen gleichermaßen verwenden. Das macht es etwas klarer, dass wir beide Einheiten in beiden Fällen gleichermaßen verwenden. Um dies hier zu vereinfachen, können wir beide Seiten zunächst durch 2 dividieren. Um dies hier zu vereinfachen, können wir beide Seiten zunächst durch 2 dividieren. Dadruch erhalten wir auf der linken Seite erhalten: pi Radien sind gleich wieviel Grad? Dadruch erhalten wir auf der linken Seite erhalten: pi Radien sind gleich wieviel Grad? Nun, das wären gleich 180 Grad. Nun, das wären gleich 180 Grad. Ich kann es so oder so schreiben. Hier sieht man, das sind 180 Grad. Man sieht ebenso, dass wenn wir hier einen Kreis ziehen, kommen wir hier auf halbem Wege vorbei. Man sieht ebenso, dass wenn wir hier einen Kreis ziehen, kommen wir hier auf halbem Wege vorbei. Die Bogenlänge bzw. der dem Winkel gegenüberliegende Bogen ist der halbe Umfang. Die Bogenlänge bzw. der dem Winkel gegenüberliegende Bogen ist der halbe Umfang. Der halbe Umfang sind pi Radiusse. Also nennen wir dies pi Radiusse. Pi Radiusse sind 180 Grad. Damit können wir einige Umrechnungen machen. Wievele Grad wäre dann ein Radius? Um dies herauszufinden, müssen wir beide Seiten einfach durch pi teilen. Um dies herauszufinden, müssen wir beide Seiten einfach durch pi teilen. Links bleibt 1 Radius (ab jetzt schreibe ich im Singular) übrig. Links bleibt 1 Radius (ab jetzt schreibe ich im Singular) übrig. 1 Radius ist gleich - ich dividiere einfach beide Seiten. Lasst mich klarstellen,was ich hier tue, nur um euch zu zeigen, dass dies hier kein Hexenwerk ist. Lasst mich klarstellen,was ich hier tue, nur um euch zu zeigen, dass dies hier kein Hexenwerk ist. Ich dividiere also beide Seiten hier durch pi. Links bleibt 1 stehen. Und auf der rechten bleibt 180/pi Grad übrig. Und auf der rechten bleibt 180/pi Grad übrig. Also entspricht 1 Radius 180/pi Grad, was es nun interessant macht, zu konvertieren. Also entspricht 1 Radius 180/pi Grad, was es nun interessant macht, zu konvertieren. Also entspricht 1 Radius 180/pi Grad, was es nun interessant macht, zu konvertieren. Denken wir nun andersherum. Ich habe 1 Grad, wieviele Radiusse sind das? Lasst mich das einmal hier hinschreiben. Lasst mich das noch einmal hier hinschreiben. Wir sagten, pi Radiusse sind gleich 180 Grad. Wir sagten, pi Radiusse sind gleich 180 Grad. Nun haben wir 1 Grad. Wir lösen jetzt also für 1 Grad. 1 Grad, wir können beide Seiten durch 180 dividieren. Es bleibt übrig: pi/180 Radiusse ist gleich 1 Grad. Also ist pi/180 gleich 1 Grad. Das sieht sicher etwas verwirrend aus, genauso war es bei mir, als ich das zum ersten Mal gesehen habe, Das sieht sicher etwas verwirrend aus, genauso war es bei mir, als ich das zum ersten Mal gesehen habe, vor allem, weil wir das in unserem Alltag nicht oft sehen, vor allem, weil wir das in unserem Alltag nicht oft sehen, In den nächsten paar Beispielen werden wir sehen, dass wir stets beide Formen herleiten können, In den nächsten paar Beispielen werden wir sehen, dass wir stets beide Formen herleiten können, solange wir uns das Konzept merken, dass 2 pi Radiusse 360 grad bzw. pi Radiusse gleich 180 Grad sind. solange wir uns das Konzept merken, dass 2 pi Radien 360 grad bzw. pi Radien gleich 180 Grad sind. solange wir uns das Konzept merken, dass 2 pi Radien 360 grad bzw. pi Radien gleich 180 Grad sind. Wir können immer beides ableiten. Wie kann man sich merken, ob man gerade pi/180 oder 180/pi zum Konvertieren benötigt? Wie kann man sich merken, ob man gerade pi/180 oder 180/pi zum Konvertieren benötigt? Am besten man merkt sich hierbei, dass 2 pi Radiusse gleich 360 Grad sind. Am besten man merkt sich hierbei, dass 2 pi Radiusse gleich 360 Grad sind. Im nächsten Video bearbeiten wir dafür eine Reihe von Beispielaufgaben, um sicherzugehen, dass wir eins in das andere Umwandeln können. dass wir eins in das andere Umwandeln können.