Folgen - Einführung

In diesem Video möchte ich uns mit Folgen vertraut machen. Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen. Zum Beispiel könnte ich eine endliche Folge haben, das bedeutet ich habe keine unendliche Anzahl an Zahlen, bei der ich, bei 1 beginne und immer 3 addiere. So, 1 plus 3 ist 4. 4 plus 3 ist 7. 7 plus 3 ist 10. Nehmen wir an, ich habe nur diese vier Terme hier. Das würden wir als endliche Folge bezeichnen. Ich könnte auch eine unendliche Folge haben. Ein Beispiel für eine unendliche Folge: Beginnen wir bei 3 und addieren immer 4. Wir haben 3, dann 7, dann 11, 15. Und man muss nicht immer das Gleiche addieren. Wir werden auch ausgefallenere Folgen untersuchen. Folgen bei denen man immer den gleichen Betrag addiert bezeichnen wir als arithmetische Folgen, welche wir auch genauer untersuchen werden. Um zu zeigen, dass sie unendlich ist, um zu zeigen, dass wir immer so weiter machen, mache ich drei Punkte. Das bedeutet nur, dass wir immer so weiter machen. Damit können wir es als unendliche Folge bezeichnen. Nun, es gibt auch ausgefallenere Schreibweisen, um Folgen zu beschreiben. Aber sie beziehen sich immer hierauf. Dennoch will ich uns damit vertraut machen, wie man Folgen noch beschreiben kann und wie man sie bestimmen kann. Wir könnten sagen, dass hier ist die Folge a tief k, für k von 1 bis 4 ist gleich das hier drüben. Wenn wir es so betrachten, ist jede dieser Zahlen ein Term der Folge. Dies hier ist der erste Term. Wir nenne ihn a tief 1. Das hier ist der zweite Term. Wir nennen ihn a tief 2. Ich denke du verstehst es, a tief 3 Dies hier ist a tief 4. Das nennt uns alle a tief k's von k gleich 1, von unserem ersten Term, bis zum vierten Term. Ich könnte die Folge auch bestimmen, ohne sie explizit zu schreiben. Ich könnte die Folge auch bestimmen, ohne sie explizit zu schreiben. Ich könnte sie definieren indem ich sie auf eine ähnliche Art wie Funktionen notiere. indem ich sie auf eine ähnliche Art wie Funktionen notiere. Exakt die gleiche Folge könnte ich als a tief k, von k gleich 1 bis 4, mit... Anstatt die Zahlen explizit zu schreiben, könnte ich sagen, a tief k ist gleich einer Funktion von k. Mal sehen was passiert. Wenn k 1 ist, bekommen wir 1. Wenn k 2 ist, bekommen wir 4. Wenn k 3 ist, bekommen wir 7. Wenn k 3 ist, haben wir zweimal 3 addiert. Lass mich das verdeutlichen. Dies ist plus 3. Dies hier ist plus 3. Dies hier ist plus 3. Was auch immer k ist, wir beginnen bei 1, und wir addieren 3, immer einmal weniger als das k des Terms. Wir könnten sagen, dies hier ist gleich 1 plus k minus 1 mal 3, oder eher 3 mal k minus 1. plus k minus 1 mal 3, oder eher 3 mal k minus 1. plus k minus 1 mal 3, oder eher 3 mal k minus 1. Und du kannst überprüfen ob das funktioniert. Wenn k gleich 1 ist, hast du 1 minus 1 gleich 0. Also, a tief 1 ist gleich 1. Wenn k gleich 2 ist, hast du 1 plus 3, was 4 ergibt. Wenn k gleich 3 ist, hast du 3 mal 2 plus 1, ist gleich 7. Es funktioniert also. Das ist eine Weg um unsere Folge explizit in einer Art Funktionsschreibweise zu beschreiben. Ich möchte klarstellen, dass ich hier im Wesentlichen eine Funktion definiert habe. Wenn ich eine herkömmlichere Schreibweise wollte, hätte ich a von k schreiben können, wo k der Term ist, um den es mir geht. a von k ist gleich 1 plus drei mal k minus 1. Die ist im Grunde eine Funktion, bei der der Definitionsbereich auf positive, ganze Zahlen beschränkt ist. So, wie könnte ich nun diese Sache hier beschreiben? Nun, ich könnte sagen, es ist gleich --und of benutzt man a-- Aber ich könnte sagen, b tief k, oder irgendetwas anderes. Aber ich nehme wieder a. a tief k. Hier gehen wir von unserem ersten Term --das ist a tief 1, das ist a tief 2-- immer weiter, bis zur Unednlichkeit. Oder, wir definieren die Folge, wenn wir es explizit schreiben wollen-- als eine Funktion, a tief k, bei der k beim ersten Term beginnt und bis unendlich geht, mit a tief k ist gleich --wir beginnen bei 3 und addieren 4 jeweils einmal weniger als k. Beim zweiten Term haben wir 4 einmal addiert. Beim dritten Term haben wir 4 zweimal addiert. Beim vierten Term haben wir 4 dreimal addiert. Wir addieren 4 also immer einmal weniger als der Term bei dem wir gerade sind. Es ist also gleich 4 mal k minus 1. Das ist ein anderer Weg um diese unendliche Folge zu definieren. In beiden fällen habe ich die Folge als explizite Funktion definiert. Dies hier ist explizit. Die Farbe ist nicht schön. Dies ist eine explizite Funktion. Nun könnte man sagen, gut, was ist eine andere Art diese Funktionen zu definieren? Nun, wir können sie auch, insbesondere etwas wie eine arithmetische Folge, rekursiv definieren. Ich möchte klarstellen, dass nicht jede Folge als explizite Funktion wie hier, oder als rekursive Funktion beschrieben werden kann. Aber bei vielen geht es, diese arithmetischen hier eingeschlossen, bei denen wir den gleichen Betrag immer und immer wieder addieren. Wie könnten wir das tun? Nun, eine andere Art um die erste Folge zu beschreiben, ist es zu sagen, a tief k, mit k von 1 bis 4. Und wenn man eine Folge rekursiv definiert, möchte man festlegen, was der erste Term ist, mit a tief 1 gleich 1. Man kann jeden Term mithilfe des vorherigen Terms bestimmen. Und dann schreiben wir a tief k ist gleich dem vorherigen Term. Es ist also a tief k minus 1. Ein gegebener Term ist als gleich dem vorherigen. Um es zu verdeutilchen, dies ist der vorherige Term, plus 3. Um es zu verdeutilchen, dies ist der vorherige Term, plus 3. Um es zu verdeutilchen, dies ist der vorherige Term, plus 3. Nun, macht das Sinn? Nun, wir definieren was a tief 1 ist. Und wenn jemand sagt, was passiert wenn k gleich 2 ist? Dann ist es a tief 2 minus 1. Es ist also a tief 1 plus 3. Dann ist es a tief 2 minus 1. Es ist also a tief 1 plus 3. Wir wissen das a tief 1 gelich 1 ist. Also ist es 1 plus 3, gleich 4. Und was ist mit a tief 3? Nun, es das ist a tief 3 plus 3. a tief 2, haben wir gerade berechnet, es ist 4. Du addierst 3, also ist es 7. Du addierst 3, also ist es 7. Das ist im Grunde das was wir im Kopf gemacht haben als ich die Folge zuerst aufgeschrieben habe. Ich sagte, ich beginne bei 1 und ich addiere immer 3 für den nächsten Term hinzu. Wie sieht es bei dieser Folge aus? Wir können es wieder als a tief k schreiben. Mit k gleich 1, als erstem Term, bis unendlich. Unser erster Term wird diesmal 3 sein. Unser erster Term wird diesmal 3 sein. Und jeder folgende Term, a tief k, ist gleich dem vorherigen Term, a tief k minus 1, plus 4. Wir starten bei 3. Und wenn du den zweiten Term möchtest, ist es der erste Term plus 4. Es ist also 3 plus 4. Wir bekommen 7. Und wir addieren weiterhin 4. Beide von diesen Folgen hier, sind rekursiv definiert. Wir haben mit einer Art Basis angefangen. Und dann ist jeder Term in Bezug auf den vorhergehenden Term ausgedrückt oder in form der Funktion selbst, jedoch der Funktion für einen anderen Term.