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Folgen - Textaufgaben: Wachstums-Schema

Video-Transkript

Wir fragen uns: mit welcher Gleichung kann man das Wachstum dieser Blöcke beschreiben? Wir wollen also herausfinden, wie viele Blöcke ich habe, wenn x = 10 gilt. Wir schauen uns dieses Muster an. Unser erstes Objekt bzw unser erstes Muster besteht aus nur einem Block. Also schreiben wir die Anzahl der Schritte und hier die Anzahl der Blöcke. und hier die Anzahl der Blöcke. In unserem ersten Schritt hatten wir 1 Block. In dem zweiten Schritt wie viele haben wir hier ? Es sieht aus wie der erste Schritt aber es wurde eine Spalte mit 4 Blöcken hinzugefügt. Also 1 + 4. Also haben wir 5 Blöcke hier, denn wir haben dem einen vier hinzugefügt. Wie sieht unser dritter Term aus? Wie sieht unser dritter Term aus? Er sieht aus wie der zweite, dem nochmal 4 Blöcke hinzugefügt wurden. 4 Blöcke hinzugefügt wurden. Wir haben also dieses Spalte hinzugefügt. Wenn man sich vorstellt, dass man die Spalten an die linke Seite hängt. Also wurden wieder vier Blöcke hinzugefügt. Wir haben nun also 9. Also ist es, als ob wir in jedem Schritt vier Blöcke hinzufügt. Bei dem vierten Schritt wieder das selbe. Das hier sieht aus wie der dritte Schritt an dem man hier einfach noch eine Spalte von 4 Blöcken hinzugefügt hat. Also zu den 9 addieren wir 4 und erhalten somit 13. Nun müssen wir noch eine Formel aufstellen, welche entweder auf dem Graphen oder den Zahlen beruht. auf dem Graphen oder den Zahlen beruht. Wenn wir uns überlegen, dass wir, wenn x = 1 also x der Anzahl der Schritte entspricht. wir nur 1 hinzufügen. Bei x = 2 haben wir eine Spalte hinzugefügt. Wenn x = 2 ist haben wir 1 Spalte von 4 Blöcken. Wenn x = 3 ist, haben wir 2 Spalten mit 4 Blöcken. Wenn x = 1 war, könnte man sagen, dass wir 0 Spalten hatten. Wir hatten also keine extra Spalte mit 4 Blöcken. Wir hatten also keine extra Spalte mit 4 Blöcken. Wenn x = 4 ist, haben wir 3 extra Spalten. Wenn x = 4 ist, haben wir 3 extra Spalten. Was ist also das Muster hier? Beziehungsweise wie kann man die Anzahl der Blöcke in Abhängigkeit zu den Schritten berechenen? Wir haben immer diesen einzelnen Block. Wir haben immer diesen einzelnen Block. Also wenn wir die Anzahl der Blöcke haben, haben wir auf jeden Fall immer einen haben wir auf jeden Fall immer einen Also diesen einen hier, den hier und diesen da. Also diesen einen hier, den hier und diesen da. Also haben wir immer 1 + irgendeine Zahl, welche sich aus 4er Reihen zusammensetzt. Bei x = 1 haben wir 0 Spalten. Bei x = 2 haben wir 1 Spalte. Bei x = 3 haben wir 2 Spalten. Wir haben also immer eine Spalte weniger, als wir Schritte haben. Also (x - 1). Wenn x = 2 folgt x - 1=1. Wenn x = 3 folgt x - 1 = 2. Die Anzahl der Spalten wir also durch (x - 1) ausgerechnet. Die Anzahl der Spalten wir also durch (x - 1) ausgerechnet. Die Anzahl der Spalten wir also durch (x - 1) ausgerechnet. Die Anzahl der Spalten wir also durch (x - 1) ausgerechnet. Hier haben wir 3 Spalten. Hier haben wir 2 Spalten. Hier haben wir eine Spalte. Hier haben wir 0 Spalten. Also funktioniert es auch für den ersten Schritt. Und in jeder der Spalten sind insgesamt 4 Blöcke. sind insgesamt 4 Blöcke. Also die Anzahl der Spalten mal 4. In jeder dieser Spalten haben wir 4 Blöcke. Also wird die Gleichung, die das Wachstum dieses Musters beschreibt, wenn wir sie vereinfacht hinschreiben, 4(x -1) + 1 lauten. 4(x -1) + 1 lauten. Wenn ich es ausklammere, bekommen wir folgendes: 4x - 4 + 1. 4x - 4 + 1. Das ist also gleich die Anzahl der Blöcke in Abhängigkeit zu den Schritten. Wir können das noch weiter vereinfachen, denn wir haben 1 und -4, also erhalten wir 4x - 3 für die Anzahl der Blöcke. Im Schritt 50 haben wir also 4*50 = 200 200 - 3 = 197 Blöcke. Ein anderer Weg ist, zu sagen, dass es immer um 4 mehr werden, also eine lineare Abhängigkeit vorliegt, und wir sagen könnten, dass dies die Steigung der Geraden ist, welche die Punkte verbindet ist, wenn wir die Gerade nur auf den Zahlen definieren. Das wäre ein bisschen komplexer, aber man denkt hier so, dass immer, wenn man einen Schritt weiter ging, wir 4 Blöcke hinzugefügt haben. Man kann es also auch so schreiben. Die Änderung, also dieses Dreieck heist Änderung, Delta beschreibt die Änderung an Blöcken pro Änderung an Schritten (x). Dir wird das womöglich als Steigung bekannt sein. Falls dir Steigung nichts sagt, dann mach dir nichts draus und wir machen es so wie im ersten Teil des Videos. Das ist ein richtiger Weg und zeigt hoffentlich, was Steigung genau meint. Was ist also die Änderung in Blöcken für eine Änderung in x. Wenn wir von x = 1 auf x = 2 gehen was wäre dann unsere Änderung an Blöcken? was wäre dann unsere Änderung an Blöcken? Es wäre 4 oder 5 -1. Es wäre 4 oder 5 -1. Was heist das? Das heißt die Änderung 4/1 = 4. Das heißt die Änderung 4/1 = 4. Unsere Änderung an Blöcken pro x ist also 4, unsere Steigung ist also 4. Wenn wir unsere Gleichung als Gerade aufsetzten wollen, Wenn wir unsere Gleichung als Gerade aufsetzten wollen, Wenn wir unsere Gleichung als Gerade aufsetzten wollen, wird die Anzahl der Blöcke = 4x + B, wobei B eine Konstante ist. wobei B eine Konstante ist. Das hier ist die Gleichung einer Geraden. Falls das komplett fremd für dich ist, löse das Problem einfach wie am Anfang des Videos. Und wie bekommen wir nun die Konstante herraus? Nun, wir benutzen einen der Schritte von vorhin. Wir wissen, dass im ersten Schritt nur ein Block da war. Also setzen wir das hier ein. Im ersten Schritt haben wir nur ein Block. Also 1 = 4+B. Wenn wir nun 4 von beiden Seiten abziehen, erhalten wir für b = -3. erhalten wir für b = -3. erhalten wir für b = -3. erhalten wir für b = -3. Also einen andereren Weg haben wir durch das auflösen von b = -3. Wir haben uns angeschaut, wie die Anzahl der Blöcke pro x-Differenz sich ändert. Das ist die Änderung der Blöcke pro Änderung in x, was immer 4 war. 4 Blöcke pro x. Also wenn sich x um 1 ändert, haben wir eine Ändeurng von 4 Blöcken. Das hat uns die Steigung gegeben. Dann haben wir durch Umformen, nach dem Schnittpunkt mit der y-Achse aufgelöst, was hier unsere Konstante war. Um danach aufzulösen mussten wir nur irgendeinen Schritt einsetzten. Wir haben f(1)=1 benutzt. Wir hätten aber auch f(3)=9 nutzen können. Man hätte alles benutzen können. Wir haben b = -3 erhalten und wenn wir das dann einsetzten,erhalten wir 4x - 3, was wir auch davor erhalten haben. Ich hoffe es hat dir Spaß gemacht.