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Einführung in arithmetische Folgen

Video-Transkript

Ich möchte dich in desem Video mit einer häufigen Klasse mathematischer Folgen vertraut machen. Und das sind arithmetische Folgen. Normalerweise kann man diese gut erkennen. Das sind Folgen, bei denen der nachfolgende Term um einen bestimmen Betrag größer wird, als der vorangegangene Term. Ich möchte hier herausfinden, welche dieser Folgen arithmetische Folgen sind. Und damit wir etwas Übung in der Notation von Folgen bekommen, Und damit wir etwas Übung in der Notation von Folgen bekommen, möchte ich diese hier entweder als explizite Funktionen definieren, maßgeblich ist hier der Index, den du betrachtest, oder als rekursive Funktionen. Also zunächst sei angenommen, dass eine arithmetische Folge eine solche ist, bei der jeder nachfolgende Term einen bestimmten Betrag größer ist, als der vorangegangene, welche dieser Folgen sind dann arithmetische Folgen? Lass uns diese hier drüben anschauen. Um von -5 zu -3 zu gelangen, müssen wir 2 hinzuaddieren. Dann, um von -3 zu -1 zu gelangen, müssen wir auch 2 hinzuaddieren. Von -1 bis 1 musst du auch 2 hinzuaddieren. Damit ist dies in jedem Fall eine arithmetische Folge. Wir haben jedes Mal den gleichen Betrag hinzuaddiert. Es gibt nun verschiedene Möglichkeiten diese Folge zu definieren. Wir könnten sagen, a Index n. Du musst nicht immer k benutzen. Hier nenne ich unseren Index n. Von n gleich 1 bis unendlich mit-- Es gibt hier zwei Definitionsmöglichkeiten. Wir können die Folge entweder explizit definieren, oder rekursiv. Wir können die Folge entweder explizit definieren, oder rekursiv. Wenn wir sie explizit definieren wollen, dann schreiben wir a Index n gleich dem ersten Term, welcher auch immer das ist. In diesem Fall ist unser erster Term -5. Er ist -5 plus-- wir addieren 2 jeweils ein Mal weniger hinzu, als es dem aktuellen Term entspricht. Im zweiten Term addieren wir zum Beispiel 2 einmal hinzu. Im dritten Term, addieren wir 2 zweimal. Im vierten Terms addieren wir, bezogen auf den Ausgangsterm, 2 drei Mal. Also addieren wir hier 2. Wir addieren 2 einmal weniger als es dem Index entspricht, daher betrachten wir hier n minus 1. Dies ist eine explizite Definition dieser arithmetischen Folge. Dies ist eine explizite Definition dieser arithmetischen Folge. Wenn ich diese jetzt rekursiv formulieren möchte, dann könnte ich sagen, a Index 1 ist gleich -5. Und dann für jeden der nachfolgenden Terme, für a Index 2 und größer-- könnte ich a Index n gleich a Index n minus 1 plus 3 schreiben. Jeder Term ist gleich dem vorangegangenen Term-- oh je, nicht 3 sondern 2. Das gilt für n größer oder gleich 2. Beide Möglichkeiten sind zulässige Wege, um arithmetische Folgen zu definieren. Wir können diese entweder explizit definieren oder rekursiv. Wir können diese entweder explizit definieren oder rekursiv. Lass uns nun die nächste Folge anschauen. Ist das eine arithmetische Folge? Wir fangen mit 100 an. Dann addieren wir 7. Von 107 bis 114 ist auch 7. Von 114 bis 121 addieren wir auch 7. Damit ist dies auch eine arithmetische Folge. Nur um das noch einmal deutlich zu machen, diese hier ist eine und diese hier drüben. Wir können schreiben, dass dies die Folge a Index n ist, mit n von 1 bis unendlich-- und wir können a Index n schreiben, wenn wir sie explizit definieren wollen, gleich 100 und wir addieren immer 7. Beim zweiten Term addieren wir 7 einmal. Beim dritten Term addieren wir 7 zweimal. Und für den n'ten Term, addieren wir 7 n minus 1 Mal. Das ist die explizite Definition, aber wir könnten sie auch rekursiv formulieren. Wir könnten auch sagen, -- nur um das deutlich zu machen, das ist die eine Definition, bei der wir das so schreiben, wir könnten auch a Index n mit n gleich 1 bis unendlich schreiben. Und in jedem Fall sollte ich 'mit' dazuschreiben -- Und wenn ich die Folge rekursiv definiere, dann könnte ich sagen a Index 1 ist gleich 100. Für jeden Index größer 1 ist a Index n gleich dem vorangegangenen Term plus 7. Und damit sind wir fertig. Das ist eine andere Möglichkeit um diese Folge zu definieren. Also grundsätzlich, wenn du einen allgemeinen Weg suchst, um eine arithmetische Folge zu erkennen oder zu definieren, dann kannst du sagen, dass eine arithmetische Folge die Form a Index n hat-- wenn wir über eine unendliche sprechen-- von n gleich 1 bis unendlich. Wenn du die Folge explizit definierst, dann kannst du sagen, a Index n ist gleich einer Konstante als ersten Term. dann kannst du sagen, a Index n ist gleich einer Konstante als ersten Term. Die Konstante plus einer bestimmten Zahl, um die du den Term erhöhst-- oder, es könnte auch eine negative Zahl sein, verringerst-- mal n minus 1. Das ist ein Weg um arithmetische Folgen zu definieren. In diesem Fall war d gleich 2. In diesem Fall war d gleich 7. Das ist der Betrag, den du jedes Mal hinzuaddierst. Und in diesem Fall ist k gleich -5, und in diesem Fall ist k gleich 100. Wenn du die arithmetische Folge rekursiv allgemein definieren möchtest, Wenn du die arithmetische Folge rekursiv allgemein definieren möchtest, dann kannst du sagen, a Index 1 ist gleich k, und a Index n ist gleich a Index n minus 1. Ein gegebener Term ist gleich einem vorangegangenen plus d für n größer als oder gleich 2. Das hier ist der explizite Weg. Das ist der rekursive Weg. Und wir schreiben 'mit' hierher. Nun, die letzte Frage: Ist dies hier eine arithmetische Folge? Lass uns nachschauen. Wir beginnen mit 1. Dann addieren wir 2. Dann addieren wir 3. Das ist schon mal ein guter Hinweis darauf, dass es sich nicht um eine arithmetische Folge handelt. Jetzt addieren wir 4. Wir addieren jedes Mal einen anderen Betrag. Damit ist diese zunächst einmal nicht arithmetisch. Da ist keine arithmetische Folge. Aber wie können wir diese definieren, da wir versuchen unsere Folgen zu definieren? Lass sie uns rekursiv definieren. Wir könnten sagen, das ist gleich a Index n, mit n von 1 bis unendlich, mit-- ausgehend von unserem ersten Fall-- a Index 1 ist gleich 1. Und dann für n gleich 2 oder größer, a Index n ist gleich was? Also a Index 2 ist der vorangegangene Term plus 2. a Index 3 ist der vorangegangene Term plus 3. a Index 4 ist der vorangegangene Term plus 4. Also der vorangegangene Term plus dem Index, welcher auch immer das ist. plus dem Index, welcher auch immer das ist. Das sieht gut aus, aber beachte, dass wir hier den Betrag ändern, den wir addieren, Das sieht gut aus, aber beachte, dass wir hier den Betrag ändern, den wir addieren, in Abhängigkeit von unserem Index. Wir addieren den Betrag des Index zu dem vorangegangenen Term. Und das gilt für n größer oder gleich 2. Bei einer arithmetischen Folge addieren wir jedes Mal den gleichen Betrag unabhängig von unserem Index. Hier addieren wir den Index selber. Damit ist diese zwar nicht arithmetisch, aber es ist dennoch eine interessante Folge.