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Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 11

Lesson 1: Arithmetische Folgen
Mathematik
Algebra 2
Reihen
Arithmetische Folgen
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Explizite Formeln für arithmetische Folgen

Google Classroom
Lerne explizite Formeln für arithmetische Folgen zu bestimmen. Bestimme zum Beispiel eine explizite Formel für 3, 5, 7,...
Bevor du dir diese Lektion vornimmst, vergewissere dich dass du dich mit den Grundlagen von Formeln arithmetischer Folgen auskennst.

Wie explizite Formeln funktionieren

Hier ist eine eindeutige Formel der Folge 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
In der Formel ist n eine Termnummer und a, left parenthesis, n, right parenthesis ist der n, start text, point, end text Term.
Dies Formel erlaubt uns, einfach die Nummer des Terms einzusetzen, den wir haben wollen und wir erhalten den Wert dieses Terms.
Um den fünften Term zu ermitteln müssen wir zum Beispiel n, equals, 5 in die eindeutige Formel einsetzen.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
Cool! Das ist in der Tat der fünfte Term von 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) Bestimme b, left parenthesis, 10, right parenthesis in der Folge, die gegeben ist durch b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Eindeutige Formeln schreiben

Untersuche die arithmetische Folge 5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point Der erste Term der Folge ist start color #0d923f, 5, end color #0d923f und die gemeinsame Differenz ist start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6.
Wir können jeden Term in der Folge erhalten, indem wir den ersten Term start color #0d923f, 5, end color #0d923f nehmen und die gemeinsame Differenz start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6 wiederholt addieren. Schau dir zum Beispiel die folgende Berechnung der ersten Terme an.
nBerechnung des n, start text, point, end text Terms
1start color #0d923f, 5, end color #0d923fequals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 5
2start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 8
3start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 11
4start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 14
5start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 17
Die Tabelle zeigt, dass wir den n, start text, point, end text Term erhalten (wobei n eine beliebige Termnummer ist) indem wir den ersten Term start color #0d923f, 5, end color #0d923f nehmen und die gemeinsame Differenz start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6 n, minus, 1 mal addieren. Dies kann algebraisch als start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis geschrieben werden.
Im allgemeinen ist dies die normale eindeutige Formel einer arithmetischen Folge, deren erster Term start color #0d923f, A, end color #0d923f ist und deren gemeinsame Differenz start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 ist:
start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis

Überprüfe dein Verständnis

2) Schreibe eine eindeutige Formel für die Folge 2, comma, 9, comma, 16, comma, point, point, point.
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

3) Schreibe eine eindeutige Formel für die Folge 9, comma, 5, comma, 1, comma, point, point, point.
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

4) Die eindeutige Formel einer arithmetischen Folge ist f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 6, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Wie lautet der erste Term der Folge?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
Was ist die gemeinsame Differenz?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Äquivalente explizite Formeln

Eindeutige Formeln können in vielen Formen vorkommen.
Zum Beispiel sind die folgenden alle eindeutige Formeln für die Folge 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
  • 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis (dies ist die Standardformel)
  • 1, plus, 2, n
  • 5, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 2, right parenthesis
Die Formel kann verschieden aussehen, das Wichtigste ist aber, dass wie einen n-Wert einsetzen können und den richtigen n, start text, point, end text Term erhalten (versuche selbst, dass die anderen Formeln richtig sind!).
Verschiedene eindeutige Formeln, die die gleiche Folge beschreiben, werden äquivalente Formeln genannt.

Eine häufige Fehleinschätzung

Eine arithmetische Folge kann unterschiedliche äquivalente Formeln haben, es ist aber wichtig sich daran zu erinnern, dass nur die Standardform und den ersten Term und die gemeinsame Differenz angibt.
Zum Beispiel hat die Folge 2, comma, 8, comma, 14, comma, point, point, point den ersten Term start color #0d923f, 2, end color #0d923f und eine gemeinsame Differenz von start color #ed5fa6, 6, end color #ed5fa6.
Die eindeutige Formel start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis beschreibt diese Folge, aber die eindeutige Formel start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, n beschreibt eine andere Folge.
Um die Formel 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis in eine äquivalente Formel der Form A, plus, B, n umzuwandeln, können wir die Klammern ausmultiplizieren und vereinfachen:
=2+6(n−1)=2+6n−6=−4+6n\begin{aligned}&\phantom{=}2+6(n-1)\\\\ &=2+6n-6\\\\ &=-4+6n\end{aligned}
Einige Personen dürften die Formel minus, 4, plus, 6, n gegenüber der äquivalenten Formel 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis vorziehen, weil sie kürzer ist. Das schöne an der längeren Formel ist, dass sie uns den ersten Term angibt.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

5) Bestimme alle richtigen eindeutigen Formeln der Folge 12, comma, 7, comma, 2, comma, point, point, point
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Challengeaufgaben

6*) Bestimme den 124, start text, point, end text Term der arithmetischen Folge 199, comma, 196, comma, 193, comma, point, point, point
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

7*) Der erste Term einer arithmetischen Folge ist 5 und der zehnte Term ist 59.
Was ist die gemeinsame Differenz?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

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