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Geometrische Folgen - Einführung

Video-Transkript

In diesem Video möchte ich euch die Idee der geometrischen Folge näherbringen. Geometrischen Folge. Ich habe viele andere Videos zu diesem Thema gemacht, aber das hier ist ein guter Anfang, um zu verstehen, was wir meinen, wenn wir von einer geometrischen Folge sprechen. Nun, was ist zunächst eine Folge? Eine Folge ist, wie ihr euch vorstellen könnt, eine Entwicklung von Zahlen. Zum Beispiel, und das ist nicht mal eine geometrische Folge, die Zahlen 1,2,3,4,5. Das ist eine Zahlenfolge. Keine geometrische Folge, aber eine Zahlenfolge. Eine geometrische Folge ist eine spezielle Entwicklung oder eine spezielle Folge von Zahlen, bei der jede Folgezahl ein Vielfaches der vorherigen Zahl ist. Lasst mich das erklären. Sagen wir meine erste Zahl ist 2, dann multipliziere ich 2 mit 3. Sagen wir meine erste Zahl ist 2, dann multipliziere ich 2 mit 3. Ich multipliziere also mit 3, und erhalte 6. Und dann multipliziere ich 6 mal 3 und erhalte 18. Dann multipliziere ich 18 mal 3 und erhalte 54. Und so mache ich einfach weiter. Ich multipliziere einfach immer wieder mit 3. Ich habe also mit diesem ersten Term begonnen. Das ist mein erster Term. Ich nenne es a1 für meine Folge. Und jedes mal multipliziere ich diese mit einer gemeinsamen Zahl, und diese Zahl wird oft "gemeinsames Verhältnis genannt". In diesem Fall ist a1 gleich 2 und mein gemeinsames Verhältnis ist gleich 3. In diesem Fall ist a1 gleich 2 und mein gemeinsames Verhältnis ist gleich 3. "gemeinsames Verhältnis" Ein Beispiel: Du hast eine geometrische Folge gegeben. Bei dieser ist a1 gleich 90 und dein gemeinsames Verhältnis ist gleich minus 1/3. a1 gleich 90 und dein gemeinsames Verhältnis ist gleich minus 1/3. Das bedeutet, dass der erste Term deiner Folge 90 ist. Der zweite ist - 1/3 mal 90. Was ist das? Das ist minus 30, korrekt? 1/3 mal 90 ist 30 und dann noch das negative Vorzeichen. Die nächste Zahl ist dann 1/3 mal das. Also minus 1/3 mal das hier. 1/3 mal 30 ist 10. Das Minus hebt sich auf, also erhält man +10. Die nächste Zahl wiederum ist 10 mal minus 1/3, also minus 10/3. Die nächste Zahl ist dann minus 10/3 mal minus 1/3, also 10/3. Und man kann diese Folge immer weiter führen. Das ist gemeint, wenn man über geometrische Folgen spricht. Das ist gemeint, wenn man über geometrische Folgen spricht. Ich möchte hier einen Unterschied deutlich machen. Das hat mich oft verwirrt, da die Terme sehr häufig im gleichen Zusammenhang benutzt werden. Das sind Folgen, Zahlenentwicklungen. 2, 6, 18, 90, dann minus 30, 10, minus 10/3. 2, 6, 18, 90, dann minus 30, 10, minus 10/3. Dann -- das hier muss 10/9 sein, korrekt? Minus 1/3 mal minus 10/3, das Minus hebt sich auf. Korrekt. 10/9. Ich möchte hier keinen Fehler machen. Dies sind Folgen. Es gibt außerdem noch Reihen. Reihen. Manchmal seht ihr auch eine geometrische Reihe. Eine Reihe ist die Summe einer Folge. Eine Reihe ist die Summe einer Folge. Das hier z.B. ist eine geometrische Folge. Eine geometrische Reihe wäre 90 plus minus 30 plus 10 plus minus 10/3 plus 10/9. Du kannst somit allgemein sagen, dass eine Reihe die Summe einer Folge ist. Das möchte ich bloß klarstellen, da mich das oft verwirrt hat, als ich mich damit zum ersten Mal beschäftigt habe. Gehen wir zurück zum Begriff der geometrischen Folge und behandeln ein Beispiel, welches sich mit einem dieser Begriffe befasst. Anne macht Bungee Jumping von einer Brücke. Anne macht Bungee Jumping von einer Brücke. Beim ersten Sprung dehnt sich die Schnur um 120 Fuß. Bei a1 also, dem ersten Sprung, dehnt sich die Schnur um 120 Fuß. Bei a1 also, dem ersten Sprung, dehnt sich die Schnur um 120 Fuß. Wir können das so schreiben. Wir können schreiben "Sprung" und wie weit die Schnur sich dehnt. Beim ersten Sprung, Sprung 1, dehnt sich die Schnur um 120 Fuß. Beim ersten Sprung, Sprung 1, dehnt sich die Schnur um 120 Fuß. Beim nächsten Sprung beträgt die Dehnung 60% vom ursprünglichen Sprung. Jeder weitere Sprung dehnt das Seil um 60% des vorherigen Sprungs. Jeder weitere Sprung dehnt das Seil um 60% des vorherigen Sprungs. Das gemeinsame Verhältnis ist also 60% des vorherigen Terms. Das gemeinsame Verhältnis ist also 60% des vorherigen Terms. Oder 0,6 mal den vorherigen Term. Beim zweiten Sprung starten wir bei 60% dessen, bzw. 0,6 mal 120. Beim zweiten Sprung starten wir bei 60% dessen, bzw. 0,6 mal 120. Und das ist gleich? Das ist gleich 72. Beim dritten Sprung sind es 0,6 von 72 bzw. 0,6 mal dem hier. Beim dritten Sprung sind es 0,6 von 72 bzw. 0,6 mal dem hier. Also ist es 0,6 mal 0,6 mal 120. Hier, beim vierten Sprung haben wir 0,6 mal 0,6 mal 0,6 mal 120. Jedes mal haben wir 60% des vorherigen Sprunges. Jedes mal haben wir 60% des vorherigen Sprunges. Wir können eine allgemeine Formel dafür aufstellen, auf der Basis dessen, was wir hier definiert haben. Wie groß wäre die Dehnung beim n-ten Sprung? Wir beginnen bei 120 mal 0,6 hoch was? Hoch n-1. Woher weiß ich das? Lasst mich es hier erklären. Das ist gleich 0,6, am besten schreibe ich die 120 zuerst. Das ist gleich 120 mal 0,6 hoch n-1. Woher weiß ich das? Nun, wir definieren den ersten Sprung als 120-Fuß-Dehnung. Wenn man also n-1 hierhin schreibt, erhält man 1 minus 1 also 0. Mit 0,6 hoch 0 und erhält man hier 1. Mit 0,6 hoch 0 und erhält man hier 1. Genau das ist beim ersten Sprung passiert. Beim zweiten Sprung erhält man 2 minus 1, und merkt euch, 2 minus 1 ist der erste Exponent, und wir erhalten exakt 0,6 hier. So habe ich erkannt, dass es n-1 war. Denn wenn n gleich 2 ist, haben wir einmal 0,6. Wenn n gleich 3 ist, haben wir zweimal 0,6 multipliziert mit sich selbst. Bei n gleich 4 haben wir 0,6 hoch 3. Egal was n also ist, nehmen wir 0,6 hoch n-1, und natürlich multiplizieren wir es mit 120. Nun, und das ist ebenfalls gefragt, wie groß wird die Dehnung des Seiles beim 12ten Sprung sein? Hier benutze ich mal den Taschenrechner. Lasst mich das ein wenig korrigieren. Das ist nicht falsch, aber sie sprechen vom Schwung, und wir könnten den ersten Sprung als den 0ten Schwung bezeichnen. Ich ändere das. Das ist nicht falsch, aber wir wollen das Problem richtig angehen. Man kann die anfängliche Dehnung als 0ten Schwung ansehen. Anstatt es also "Sprung" zu nennen, nennen wir es "Schwung". Die erste Dehnung ist der 0te Schwung, dann wäre das der erste Schwung, der zweite Schwung, der dritte Schwung. Damit wird unsere Formel wesentlich einfacher. Wenn man die Dehnung beim 9ten Schwung meint, wird die Formel zu 0,6 hoch n mal 120, korrekt? Beim 0ten Schwung, unserem ursprünglichen, erhält man 0,6 hoch 0, das ist 1 mal 120. Beim ersten Schwung, 0,6 hoch 1, einmal 0,6 hier. 0,6 mal der der vorherigen Dehnung. 0,6 mal der der vorherigen Dehnung. Das hier beschreibt es in Form von Schwüngen, was so ziemlich das ist, was in der Aufgabe von uns gefordert wird. Wie sieht es beim 12ten Schwung aus? Nehmen wir diese Formel hier. Also, beim 12ten Schwung -- Jetzt nehmen wir mal den Taschenrechner. Wir haben 120 mal 0,6 hoch 12. Wichtig ist die richtige Reihenfolge der Operatoren, da die Exponenten Vorrang vor der Multiplikation haben, also 0,6 hoch 12. Exponenten Vorrang vor der Multiplikation haben, also 0,6 hoch 12. Das ist gleich 0,26 Fuß- Nach dem 12ten Schwung wird sie sich also kaum mehr bewegen. Nach dem 12ten Schwung wird sie sich also kaum mehr bewegen. Sie bewegt sich beim 12ten Schwung um ca. 3 Fuß. Ich hoffe, das war hilfreich. Und ich entschuldige mich für die kleine Abweichung hier, aber ich glaube sie war hilfreich. Du musst sicher gehen, dass n gut mt dem Ergebnis zusammenpasst. Du musst sicher gehen, dass n gut mt dem Ergebnis zusammenpasst. Als ich vom ersten Sprung gesprochen habe, habe ich gesagt, das ist 1. Als ich vom ersten Sprung gesprochen habe, habe ich gesagt, das ist 1. Und dann hatte ich 0,6 hoch 0, also n-1. Und dann hatte ich 0,6 hoch 0, also n-1. Und dann habe ich die Begriffe in Schwünge umbenannt, das war der 0te Schwung. Das macht Sinn, dass das hier 0,6 hoch 0 ist. Das ist der erste Schwung, also wäre das 0,6 hoch 1. Das ist der erste Schwung, also wäre das 0,6 hoch 1. Zweiter Schwung, 0,6 hoch 2. Ich habe unsere Gleichung ein wenig einfacher gemacht. Jedenfalls hoffe ich, dass dir das geholfen hat.