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Geometrisches Serien - Einführung

Video-Transkript

Ich habe eine geometrische Reihe. Ich sollte besser geometrische Folge sagen. Über Reihen reden wir gleich. Wir haben eine geometrische Folge, die bei 1 beginnt und einen Quotienten von 1/2 hat. Unser Quotient ist die Zahl, mit der wir wiederholt multiplizieren. 1 ⋅ 1/2 = 1/2, 1/2 ⋅ 1/2 = 1/4, 1/4 ⋅ 1/2 = 1/8, und immer so weiter. Das ist eine unendliche geometrische Folge. Und wir können sie kennzeichnen. Wir können sagen, dass sie gleich der Folge a_n von n = 1 bis ∞ ist, und dass a_n = 1(1/2)^(n - 1) ist. Wir haben also unseren ersten Term 1, und multiplizieren mit unserem Quotienten 1/2. 1/2^(n - 1). Und du kannst das überprüfen. Das hier drüben kannst du als (1/2)^0 betrachten. Das ist (1/2)^1, das ist (1/2)^2. Der erste Term ist also (1/2)^0. Der zweite Term ist (1/2)^1. Der dritte Term ist (1/2)^2. Der n-te Term ist also (1/2)^(n - 1). Das ist also einfach (1/2)^(n - 1). Nehmen wir mal an, wir interessieren uns nicht für die Folge, sondern für die Summe der Folge. Wir wollen also nicht nur jeden diesen Terme ansehen, und sehen was passiert, wenn ich wiederholt 1/2 multipliziere, sondern es interessiert mich, 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 usw. immer weiter zu addieren. Das würden wir jetzt eine geometrische Reihe nennen. Und da ich eine unendliche Anzahl an Termen addiere, habe ich eine unendliche geometrische Reihe. Das hier wäre also eine unendliche geometrische Reihe. Eine Reihe kannst du als Summe einer Folge betrachten. Wie würden wir das kennzeichnen? Wir können die Summen-Notation verwenden. Wir könnten sagen, dass das hier gleich der Summe von n = 1 bis ∞ von a_n ist. Und a_n ist einfach nur (1/2)^(n - 1). Wenn n = 1 ist, dann haben wir (1/2)^0, was 1 ergibt. Dann addiere ich das Ergebnis von n = 2, nämlich 1/2, und das Ergebnis von n = 3, nämlich 1/4. Und so weiter und so fort. In diesem Video wollte ich nur die Unterschiede zwischen Folgen und Reihen erklären, und dir die Notation dafür näherbringen. In den nächsten Videos werden wir versuchen, Summen von geometrischen Reihen zu nehmen, und sehen, ob wir einen finiten Wert erhalten.