Bearbeitetes Beispiel: Endliche geometrische Reihe (Sigma-Schreibweise)

In diesem Video behandeln wir Beispiele, in denen wir die Summen finiter geometrischer Reihen finden. In einem früheren Video haben wir die Formel S_n = (a ⋅ (1 - r^n)) / (1 - r) dafür abgeleitet. Jetzt wollen wir sie auf diese endliche geometrische Reihe hier anwenden. Welchen ersten Term und welchen Quotienten haben wir? Und wie lautet unser n? Manche von euch sehen die Antwort hier schon, aber für dieses Beispiel erweitere ich das ein wenig. Das ist 2 ⋅ 3^0, was 2 ergibt, + 2 ⋅ 3^1, + 2 ⋅ 3^2. Ich schreibe die ^1 dahin. + 2 ⋅ 3^3. Und das machen wir bis hin zu 2 ⋅ 3^99. Was ist also unser erster Term? Was ist unser a? a = 2. Und das sehen wir in all diesen Termen hier. a ist also 2. Was ist r? Mit jedem folgenden Term, wenn k um 1 steigt, multiplizieren wir wieder mit 3. Also ist 3 unser Quotient. Das hier ist also r. Das hier ist a. Was ist also n? Weil wir bis k = 99 gehen, denkst du vielleicht, dass n = 99 ist. Aber wir müssen bedenken, dass wir bei k = 0 beginnen. Wir haben also 100 Terme. Wenn k = 0 ist, haben wir unseren ersten Term, wenn k = 1 ist, haben wir unseren zweiten Term, wenn k = 2 ist, haben wir unseren dritten Term, wenn k = 3 ist, haben wir unseren vierten Term, wenn k = 99 ist, haben wir unseren hundertsten Term. Wir wollen also herausfinden, was S_100 für diese geometrische Reihe ergibt. (2 ⋅ (1 - 3^100) / (1 - 3). Und wir können das vereinfachen, indem wir zusammenrechnen. Hier unten haben wir dann -2, also haben wir 2 / (-2), und das negative Vorzeichen bleibt übrig. Also haben wir - (1 - 3^100). Das ist dasselbe wie 3^100 - 1. Und wir sind fertig.