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Endliche geometrische Reihen - Formeln

Video-Transkript

Wir haben eine geometrische Reihe, und wir wissen ein paar Dinge über diese geometrische Reihe. Wir wissen z.B., dass der erste Term unserer geometrischen Reihe a ist. a ist unser erster Term. Wir kennen außerdem den Quotienten unserer geometrischen Reihe. Diesen Quotienten nennen wir r. Wir wissen außerdem, dass es sich um eine endliche geometrische Reihe handelt. Sie hat eine endliche Anzahl von Termen. Und n ist die Anzahl unserer Terme. Wir benutzen S_n, um die Summe der ersten n Terme zu kennzeichnen. In diesem Video wollen wir diese Informationen nutzen, um eine allgemeine Formel für die Summe der ersten n Terme herauszufinden. Eine Formel, um eine geometrische Reihe zu lösen. Zuerst schreiben wir S_n auf, um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie sie aussieht. Wir schreiben S_n auf die linke Seite, dann haben wir unseren ersten Term a. Wie lautet unser zweiter Term? Wir haben eine geometrische Reihe, also ist unser zweiter Term a multipliziert mit unserem Quotienten. Also multiplizieren wir den ersten Term mit dem Quotienten r. Wie lautet unser dritter Term? Unser dritter Term ist unser zweiter Term, der wieder mit unserem Quotienten multipliziert wird. Also ar ⋅ r bzw. ar^2. So könnten wir bis zum n-ten Term weitermachen. Wenn wir beim n-ten Term ankommen, denkst du vielleicht, dass wir a ⋅ r^n haben, aber wir müssen vorsichtig sein. Denn unser erster Term ist eigentlich ar^0, unser zweiter Term ist ar^1, unser dritter Term ist ar^2. Also haben wir im Exponenten immer die Zahl des Terms minus 1. Beim n-ten Term haben wir also ar^(n - 1). Jetzt suchen wir nach einer schönen Formel, mit der wir das ausrechnen können, und wir wenden einen kleinen Trick an, um sie zu finden. Wir denken darüber nach, was r ⋅ S_n ist. Wir subtrahieren das voneinander. Oder besser: Wir multiplizieren -r mit der Summe der ersten n Terme. Dann können wir beide addieren und es bleibt ein glattes Ergebnis übrig. Was ergibt das? Wenn wir a ⋅ (-r) rechnen, erhalten wir -ar. Ich schreibe es direkt darunter. Ich multipliziere also jeden dieser Terme mit -r. Das ist dasselbe, wie -r mit der Summe zu multiplizieren. Das -r wird ausmultipliziert. a ⋅ (-r) = -ar. ar ⋅ (-r) = -ar^2. Ich denke, du siehst das Muster. Zur Verdeutlichung, was ich gemacht habe: Das ist dieser Term mit -r multipliziert. Das ist der Term mit -r multipliziert. Und wir machen so weiter bis zu unserem vorletzten Term, bei dem wir -a ⋅ r^(n - 1) Das ist der Term direkt davor. Das war a ⋅ r^(n - 2) ⋅ (-r), was uns das als Ergebnis gibt. Und schließlich multiplizieren wir diesen letzten Term mit -r. Welches Ergebnis erhalten wir? Wir erhalten -a ⋅ r^n. Du multiplizierst das mit dem Minus und erhältst -a, dann rechnest du r^(n - 1) ⋅ r^1, was r^n ergibt. Das Interessante ist, dass wir die linken und rechten Seiten addieren können. Also machen wir das. Links rechnen wir S_n - r ⋅ S_n, und rechts passiert etwas sehr Cooles. Du siehst, dass wir immer noch dieses a haben. Das a bleibt dort, aber alles andere, außer diesem letzten Term, kürzt sich weg. Die beiden kürzen sich weg. Übrig bleibt nur -ar^n. Also haben wir a - a ⋅ r^n. Jetzt können wir einfach nach S_n auflösen, und erhalten die Formel, nach der wir gesucht haben. Links können wir ein S_n ausklammern. Du erhältst ein S_n, was die Summe unserer ersten n Terme ist. Wir haben es ausgeklammert, also haben wir in der Klammer (1 - r). Und links können wir ein a ausklammern. Dann haben wir a(1 - r^n). Wenn wir nach S_n auflösen, erhalten wir S_n = (a ⋅ (1 - r^n)) / (1 - r) Fertig. Wir haben die Formel für die Summe einer endlichen geometrischen Reihe herausgefunden. In den nächsten Videos werden wir sie anwenden, und ich ermutige dich, dass du, jedes Mal, wenn du diese Formel anwendest, jetzt, wo du weißt wo sie herkommt, sehr genau aufpasst, wie viele Terme du summierst. Manchmal hast du eine Sigma-Notation, bei der der Index bei 0 beginnt, und bis zu einer Zahl geht, und in diesem Fall hast du diese Zahl + 1 als Terme. Du musst also sehr aufpassen. Das ist die Anzahl der Terme. Das ist unser erster Term, wir definieren ihn hier oben. n ist die Anzahl der ersten n Terme, r ist unser Quotient.