Gleichungen mit einem rationalen Ausdruck (fortgeschritten)

Löse die Gleichung x² - (x² - 4)/(x - 2) = 4. Die Beschränkung ist, dass x ≠ 2 ist, da die Gleichung sonst nicht definiert wäre, da wir durch 0 dividieren müssten. Finden wir also heraus, was x ist. Du willst vielleicht diesen Term mit dem gemeinsamen Nenner x - 2 ausdrücken, und dann diese beiden Ausdrücke addieren. Aber was mir sofort auffällt, ist, dass wir (x² - 4) im Zähler haben, was eine Differenz von Quadraten ist. Wenn du ausklammerst, erhältst du (x + 2)(x - 2). Also klammern wir dieses (x - 2) jetzt aus. Wir schreiben die Gleichung also um. x² bleibt erhalten. Wir wissen, dass x² - 4 eine Differenz von Quadraten ist, also schreiben wir es als (x + 2)(x - 2). Im Nenner haben wir (x - 2). Und das alles ergibt 4. Und die ganze Zeit nehmen wir an, dass x ≠ 2 ist. Da x ≠ 2 ist, ist die Rechnung (x - 2)/(x - 2) definiert. Es ergibt 1. Also kürzen sich die zwei weg. Übrig bleibt x² - (x + 2) = 4. Wir können das Minus ausmultiplizieren, und erhalten x² - x - 2 = 4. Wir wollen die Gleichung in die Form ax² + bx + c = 0 bringen. Das ermöglicht es uns, sie zu zerlegen, die quadratische Gleichung oder Ergänzung oder eine andere Methode anzuwenden, mit der man quadratische Gleichungen löst. Also machen wir das. Wir wollen 0 auf der rechten Seite haben. Deshalb subtrahieren wir 4 von beiden Seiten dieser Gleichung. Wir haben x² - x und rechnen -2 - 4, was - 6 ergibt. Und 4 - 4 = 0. Das wollten wir ja erreichen. Wir haben also x² - x - 6 = 0. Es sieht so aus, als könnten wir es in Faktoren zerlegen. Wir müssen nur zwei Zahlen finden, die multipliziert -6 ergeben. Also haben sie verschiedene Vorzeichen. Und wenn ich sie addiere, müssen sie -1 ergeben. Es sieht so aus, als wären unsere Zahlen -3 und 2. Wir schreiben also (x - 3)(x + 2). Man muss ein bisschen raten, aber 6 hat nicht viele Faktoren, und 3 und 2 sind nur 1 auseinander, sie haben unterschiedliche Vorzeichen, dadurch kommst du auf diese Lösung. -3 ⋅ 2 = -6. -3 + 2 = -1. Das alles ergibt 0. Wir haben zwei Möglichkeiten, um 0 zu erhalten. Entweder ist x - 3 = 0 oder x + 2 = 0. Wenn wir x - 3 = 0 nehmen und 3 zu beiden Seiten dieser Gleichung addieren, erhalten wir x = 3. Oder, wenn wir 2 von beiden Seiten dieser Gleichung subtrahieren, erhalten wir x = -2. Es sind beides Lösungen. Wir setzen sie wieder in diese Gleichung ein, um zu überprüfen, dass sie stimmen. Denn sie sind Lösungen dieser Gleichung, bei der wir (x - 2) weggekürzt haben. Wir müssen schauen, ob das einen Nebeneffekt hatte. Wir wollen also herausfinden, ob beide Lösungen in der ursprünglichen Gleichung funktionieren. Versuchen wir es zuerst mit x = 3. Wir erhalten 3² - (3² - 4)/(3 - 2). 3² = 9. 9 - 4 = 5. 3 - 2 = 1. Wir haben also 9 - 5, was 4 ergibt. Und das ist genau das, was herauskommen muss. Jetzt versuchen wir es mit -2. Ich habe also (-2)² - ((-2)² - 4)/(-2 - 2). (-2)² = 4. (-2)² = 4, im Zähler haben wir also 4 - 4. Und im Nenner rechnen wir -2 - 2 und erhalten -4. 4 - 4 = 0, also ergibt dieser ganze Term 0. Also ergibt das alles 4. Beide Lösungen funktionieren also. Und das ergibt Sinn, denn als wir weggekürzt haben, haben wir nichts Grundlegendes an der Gleichung geändert. Das wäre nur passiert, wenn x = 2 gewesen wäre. Das ist das einzige, das wir verändern. Deshalb ergibt es Sinn, dass beide Lösungen funktionieren.