Rationale Gleichungen - Einführung

Wir wollen folgende Gleichung nach x auflösen. Wir wollen folgende Gleichung nach x auflösen. Wir haben (x + 1) / (9 - x) = 2/3. Pausiert das Video und versucht es zunächst selbst zu lösen, bevor wir es gemeinsam rechnen. Also, versuchen wir es jetzt zusammen. Das Erste, was wir tun, dabei gibt es verschiedene Wege, aber was ich zunächst machen will, ist, das x hier im Nenner loszuwerden. Am einfachsten geht das, indem man beide Seiten dieser Gleichung mit (9 - x) multipliziert. beide Seiten dieser Gleichung mit (9 - x) multipliziert. Wenn man das tut, ist es wichtig, dass wir den Wert von x so setzen, dass der Nenner nicht 0 wird. dass der Nenner nicht 0 wird. Falls wir durch algebraische Umformung irgendwie zu x = 9 kommen würden, wäre dies immer noch eine ungültige Lösung, da man beim Einsetzen von 9 für x in die ursprüngliche Gleichung durch 0 im Nenner teilen würde. Vermerken wir das hier nochmal: x kann nicht gleich 9 sein. Damit können wir also sicher fortfahren mit unseren algebraischen Umformungen. Auf der linken Seite, solange x ungleich 9 ist, wenn wir mit (9 - x) multiplizieren und dividieren, fallen diese raus und wir haben nur x + 1 übrig. Rechts mutliplizieren wir 2/3 mit (9 - x) und erhalten - 2/3 mal 9 ist 6 und 2/3 mal -x ist -2/3. 2/3 mal 9 ist 6 und 2/3 mal -x ist -2/3. Rufen wir uns hier wieder ins Gedächtnis, dass x nicht gleich 9 sein kann. Und dann können wir all unsere x´e auf eine Seite holen. Bringen wir dieses x nach links. Addieren wir also 2/3x auf beiden Seiten. 2/3x plus 2/3x ergibt dann was? 2/3x plus 2/3x ergibt dann was? Nun, auf der linken Seite haben wir 1x, was dasselbe ist wie 3/3x, plus 2/3x führt uns zu 5/3x + 1 ist gleich 6 und diese Teile fallen raus. Und dann subtrahieren wir einfach 1 von beiden Seiten und erhalten 5/3x ist gleich 5. Und dann zu guter letzt können wir beide Seiten der Gleichung, mit dem Kehrwert von 5/3 multiplizieren, also 3/5. Kehrwert von 5/3 multiplizieren, also 3/5. Das tue ich, um das x auf der linken Seite zu isolieren. Das tue ich, um das x auf der linken Seite zu isolieren. Also mal 3/5, und es bleibt übrig 3/5 mal 5/3 ist natürlich gleich 1. 3/5 mal 5/3 ist natürlich gleich 1. Also bleibt uns: x ist gleich 5 mal 3/5 ist gleich 3. x = 3 sieht gut aus, dennoch müssen wir noch prüfen, ob es zu unserer Ursprungsgleichung passt. Schauen wir nach oben und resubstituieren x mit 3, erhalten wir keine 0 im Nenner, x ist nicht gleich 0. x = 3 ist damit gültig. Damit ist das eine richtige Lösung. Bekämen wir durch Umformen nun x = 9, wäre dies immer noch keine richtige Lösung, wäre dies immer noch keine richtige Lösung, da der ursprüngliche Term auf der linken Seite dadurch nicht definiert wäre.