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Gleichungen mit rationalen Ausdrücken (Beispiel 2)

Video-Transkript

Wir haben hier eine Gleichung mit rationalen Ausdrücken. Ich ermutige dich, das Video zu pausieren, um herauszufinden, welche x-Werte die Gleichung erfüllen. Jetzt machen wir es zusammen. Wenn ich solche Nenner sehe, möchte ich sie am liebsten loswerden. Wir wollen also dieses x - 1 im linken Nenner loswerden. Wir multiplizieren also beide Seiten der Gleichung mit x - 1. Wir machen das, um x - 1 im linken Nenner loszuwerden. Um dann x + 1 im rechten Nenner loszuwerden, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit x + 1. Was erhalten wir dann? Links rechnen wir (x - 1)/(x - 1), das ergibt 1 für x ≠ 1. Dann haben wir (x + 1)(-2x + 4). Rechts multiplizieren wir beide Terme mit 3/(x + 1). (x + 1) und (x + 1) kürzen sich weg, und es bleibt 3(x - 1) übrig. Das ist also 3x - 3 - 1(x - 1)(x + 1). Ich habe einfach nur (x - 1)(x + 1) genommen und mit jedem dieser Terme multipliziert. Wenn ich es mit diesem ersten Term multipliziere, kürzen sich (x + 1) und (x + 1) weg, also multipliziere ich nur 3 ⋅ (x - 1). Beim zweiten Term multipliziere ich einfach nur mit diesen beiden. Dir fällt vielleicht auf, dass, wenn du etwas mit (x + 1)(x - 1) multiplizierst, es x² - 1 ergibt. Also schreibe ich es um, sodass es (x² - 1) ergibt. Das liegt daran, dass es dasselbe wie x² - 1 ist. Kommen wir erstmal zum nächsten Schritt. Ich kann das hier ausmultiplizieren. Ich multipliziere x mit -2x, was -2x² ergibt. x ⋅ 4 ergibt +4x. Und ich könnte 1 ⋅ (-2x) multiplizieren. Ich subtrahiere also 2x. 1 ⋅ 4 ergibt +4. Und das ergibt 3x - 3, und dann müssen wir das Minus ausmultiplizieren. Also erhalten wir -x² + 1. Hier drüben können wir etwas vereinfachen. Hier rechnen wir 4x - 2x, was 2x ergibt. Wir rechnen -3 + 1, was -2 ergibt. Wir können es als -2x² + 2x + 4 = -x² + 3x - 2 schreiben. Jetzt wollen wir all diese Terme auf die rechte Seite bekommen, also addieren wir x² zu beiden Seiten, um dieses -x² loszuwerden. Wir subtrahieren 3x von beiden Seiten, und addieren 2 zu beiden Seiten. Wie sieht unsere Gleichung jetzt aus? -2x² + x² = -x². 2x - 3x = -x. 4 + 2 = 6. Rechts bleibt nur 0 übrig, da sich alles andere wegkürzt. Ich möchte das -x² loswerden, also multipliziere ich beide Seiten mit -1. Wenn ich das Negative von beiden Seiten haben will, multipliziere ich einfach nur mit -1. Ich nehme einfach nur das Negative beider Seiten. Ich erhalte x² + x - 6 = 0. Wir kommen gut voran. Das können wir in Faktoren zerlegen. Wenn ich diese Gleichung in Faktoren zerlegen will, suche ich zwei Zahlen, die multipliziert -6 ergeben, und die unterschiedliche Vorzeichen haben, da ihr Produkt negativ ist. Addiert ergeben sie 1, was der Koeffizient des Terms ersten Grades ist. +3 und -2 funktionieren, also schreibe ich es als (x + 3)(x - 2) = 0. 3 ⋅ (-2) = -6. 3x - 2x = x. Ich habe sie in diese quadratische Form gebracht. Diese Gleichung wird 0, wenn eine ihrer Fakoren gleich 0 wird. Wenn x + 3 = 0 oder wenn x - 2 = 0 ist. Das passiert, wenn ich 3 von beiden Seiten subtrahiere. Das passiert, wenn x = -3 ist, oder, wenn du 2 zu beiden Seiten addierst, wenn x = 2 ist. Jede dieser Lösungen kann es sein, aber wir müssen aufpassen. Wir müssen sicherstellen, dass unsere ursprüngliche Gleichung auch für beide Lösungen definiert ist. -3 sorgt nicht dafür, dass einer der Nenner 0 ergibt, das ist also schon mal gut. Und 2 sorgt auch nicht dafür, dass einer dieser Nenner 0 ergibt. Es sieht also gut aus. Es gibt zwei Lösungen für diese Gleichung. Hätte eine davon dafür gesorgt, dass der Nenner 0 ergibt, dann wäre sie eine irrelevante Lösung gewesen. Es wäre eine Lösung für einen unserer Zwischenschritte, aber nicht für die tatsächliche ursprüngliche Gleichung gewesen, mit den Ausdrücken, wie sie dort stehen. Aber diese Lösungen stimmen, da keine davon dazu führt, dass einer der Nenner 0 ergibt.