Gleichungen mit rationalen Ausdrücken

Wir haben hier eine Gleichung mit rationalen Ausdrücken. Ich ermutige dich, das Video zu pausieren, und herauszufinden, welche x-Werte die Gleichung erfüllen. Jetzt lösen wir es gemeinsam. Als erstes versuche ich die Gleichung zu vereinfachen, indem ich vielleicht gemeinsame Teiler für Zähler und Nenner, oder gemeinsame Teiler auf beiden Seiten der Gleichung finde. Ich will alle Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen. Rechts ist das bereits erledigt. Das hier oben kann ich umschreiben. Welche zwei Zahlen ergeben multipliziert 21? Wir haben +21, also haben sie dasselbe Vorzeichen. Und wenn ich sie addiere, erhalte ich -10. Die Zahlen sind -7 und -3, also kann ich es als (x - 7)(x - 3) umschreiben. Hier unten sind beide durch 3 teilbar. Ich kann es als 3(x - 4) umschreiben. Und das hier ist bereits in Faktoren zerlegt. Was mir auffällt, ist, dass ich (x - 4) links und rechts im Nenner habe. Ich kann also beide Seiten mit (x - 4) multiplizieren. Ich streiche das hier durch, da wir es ersetzt haben. Hier oben ist es nicht so offensichtlich, dass es mir etwas bringt, es in zerlegter Form zu haben. Deshalb behalte ich die gelbe, ausmultiplizierte Form nochmal bei. Ich streiche das jetzt mal durch. Ich multipliziere jetzt mit (x - 4). Warum mache ich das? Damit ich (x - 4) in den Nennern loswerde. Ich multipliziere auf beiden Seiten mit (x - 4). Die beiden kürzen sich weg. Die beiden kürzen sich auch weg. Im Zähler bleibt x² - 10x + 21 übrig. Im Nenner haben wir nur noch die 3. Rechts haben wir x - 5. Jetzt kann ich beide Seiten mit 3 multiplizieren. Ich ändere die Farbe, damit es auffällt. Ich multipliziere beide Seiten mit 3. Auf der linken Seite kürzt es sich weg, und es bleibt x² - 10x + 21 übrig. Ich habe keinen Nenner mehr. Mein Nenner ist 1, also brauche ich ihn nicht aufschreiben. Rechts müssen wir die 3 ausmultiplizieren. 3 ⋅ x = 3x. 3 ⋅ (-5) = -15. Jetzt kann ich die Gleichung in die quadratische Standardform bringen, indem ich all diese Terme auf die linke Seite bringe. Das geht am einfachsten, indem ich 3x von der rechten Seite subtrahiere. Aber ich darf es nicht nur rechts machen, da die Seiten nicht mehr gleichwertig wären. Ich muss es auf beiden Seiten machen. Und ich will die -15 loswerden, also addiere ich 15 zu beiden Seiten. Also mache ich das. Und übrig bleibt x² - 13x + 36. Und das ergibt 0. Jetzt haben wir eine quadratische Standardform. Wie lösen wir sie? Zuerst schauen wir, ob wir in Faktoren zerlegen können. Ich suche zwei Zahlen, die multipliziert 36, und addiert -13 ergeben. Sie müssen beide negativ sein, da sie dasselbe Vorzeichen haben müssen, wenn ihr Produkt positiv ist. -9 und -4 würden funktionieren. Wir haben also (x - 4)(x - 9) = 0. Die Gleichung stimmt, wenn entweder x - 4 = 0, oder x - 9 = 0 ergibt. Wir addieren 4 zu beiden Seiten. Das stimmt, wenn x = 4 ist. Wir addieren hier 9 zu beiden Seiten. Das stimmt, wenn x = 9 ist. Wir können also sagen, dass unsere Lösungen x = 4 oder x = 9 sind. Aber wir müssen aufpassen. Wir müssen daran denken, dass in unserem ursprünglichen Ausdruck x - 4 ein Faktor in beiden Nennern war. Wenn wir also x - 4 in der ursprünglichen Gleichung testen, und nicht in einem der Zwischenschritte, würde ich an dieser Stelle durch 0 teilen, und an dieser Stelle ebenfalls. Wenn ich also 4 in die ursprünglichen Gleichungen einsetzen würde, würden sie keinen Sinn ergeben. Das ist also eine irrelevante Lösung. Es ist keine Lösung der ursprünglichen Gleichung. Die einzige Lösung lautet x = 9.