Rationale Ausdrücke vereinfachen: höhergradige Terme

Versuchen wir, diesen Ausdruck zu vereinfachen. Pausiere das Video und versuche es zuerst selbst, und dann lösen wir es zusammen. Es sieht also so aus, als könnten wir beim Zähler und Nenner ausklammern, und dass sie gemeinsame Teiler haben, durch die du Zähler und Nenner dividieren kannst, um den Ausdruck zu vereinfachen. Zuerst klammern wir beim Zähler aus. x⁴ + 8x² + 7. Es sieht anfangs etwas schwierig aus, da du hier ein x⁴ hast. Es ist keine quadratische Gleichung, es ist ein Polynom vierten Grades. Aber es scheint, wie bei anderen quadratischen Gleichungen, die wir bereits kennen, als gäbe es hier ein Muster. Wenn hier z.B. x² + 8x + 7 stehen würde, wäre es ziemlich einfach, auszuklammern. Welche zwei Zahlen ergeben addiert 8 und multipliziert 7? Es gibt nur zwei Zahlen, die multipliziert 7 ergeben und außerdem positiv sind, und sie müssen positiv sein, da sie addiert 8 ergeben, und diese Zahlen sind 1 und 7. Das wäre also (x + 7)(x + 1). Wenn du anstatt x und x² zu betrachten, es einfach als x² und x⁴ betrachtest, ist es genau dasselbe. Das hier können wir also als (x² + 7)(x² + 1) schreiben. Wenn du willst, kannst du eine Substitution durchführen, bei der du sagst, dass a = x² ist, dann würde hieraus a² + 8a + 7 werden. Und dann würdest du hier ausklammern, und (a + 7) und (a + 1) erhalten, und wenn du die Substitution rückgängig machst, erhältst du (x² + 7)(x² + 1). Ich hoffe, du verstehst, was hier passiert. Das ist der Term höheren Grades, und dieser Term ist die Hälfte des Grades, also passt er in diese Form. Du könntest also eine Substitution durchführen, oder einfach erkennen, dass wir es anstatt x² mit x⁴ zu tun haben. Das ist also der Zähler. Jetzt kommen wir zum Nenner. Beide Terme im Nenner lassen sich durch 3x dividieren. Also klammern wir 3x aus. Dann haben wir 3x, wenn wir hier 3x ausklammern, rechnen wir 3/3 = 1, x⁵/x = x⁴. Wenn du hier 3x ausklammerst, erhältst du 1. Das scheint nicht sehr hilfreich zu sein. Ich sehe kein (x⁴ - 1) oder ein 3x im Zähler, aber vielleicht kann ich bei (x⁴ - 1) weiter ausklammern. Und das liegt daran, dass es sich um eine Differenz von Quadraten handelt. Du bist es vielleicht gewohnt, eine Differenz von Quadraten in der Form a² - 1 zu sehen, was du dann in (a + 1)(a - 1) umformen kannst. Hier hätten wir ebenfalls a² - 1, wenn wir annehmen, dass a = x² ist. Dann wäre das hier a² - 1. Also schreiben wir das alles um. Wir haben denselben Zähler: (x² + 7)(x² + 1), ich kann dort nicht weiter ausklammern. 3x bleibt stehen, aber den Rest kann ich als eine Differenz von Quadraten betrachten. Das ist also (x²)² und das ist 1². Das ist also (x² + 1)(x² - 1). Wir haben eindeutig (x² + 1) im Zähler und Nenner, also kann ich sie wegkürzen. Im Zähler bleibt x² + 7 übrig. Im Nenner steht dann 3x(x² - 1). Das sieht ziemlich einfach aus, aber wir müssen aufpassen, denn jedes Mal wenn wir etwas wegkürzen, müssen wir daran denken, die x-Werte zu beschränken, für die der Ausdruck definiert ist, wenn wir wollen, dass die Ausdrücke algebraisch gleichwertig sind. Das hier wäre offensichtlich nicht definiert, wenn x = 0 wäre. x darf also nicht 0 sein. x darf auch nicht ±1 sein, da es dafür sorgen würde, dass dieser Ausdruck hier gleich 0 wäre. Dieser Teil hier kann, wenn wir annehmen, dass wir nur mit reellen Zahlen arbeiten, niemals 0 werden. Er kann mit reellen Zahlen niemals 0 werden, da x² immer nicht-negativ ist, und du es zu einem positiven Wert addierst, und deshalb hätte dieser Teil nie dazu geführt, dass der ganze Ausdruck undefiniert ist. Wir können ihn also ausklammern, oder wegkürzen, ohne uns darum Sorgen zu machen. Und das hier ist algebraisch gleichwertig zu dem Ausdruck, den wir vorher hatten. Jetzt können wir diese Beschränkungen dazuschreiben, wenn wir wollen. Wenn uns die Frage gestellt wird, für welche x-Werte dieser Ausdruck nicht definiert wäre, wären diese Werte 0, da dadurch der Nenner 0 werden würde, da eine Division durch 0 nicht definiert ist, oder wenn x ±1 ist, da dann der Nenner ebenfalls 0 wäre. Aber diese Beschränkung kommt direkt von diesem Ausdruck, also sind dieser Ausdruck und unser ursprünglicher Ausdruck algebraisch gleichwertig. Wir können jetzt den Nenner erweitern, indem wir ihn ausmultiplizieren. Wir haben wieder (x² + 7) im Zähler, im Nenner rechnen wir 3x ⋅ x² = 3x³, und haben dann 3x³ - 3x. Das sind alles gleichwertige Ausdrücke. Und wir sind fertig.