Rationale Ausdrücke vereinfachen: gemeinsame monomiale Faktoren

Ich habe hier einen rationalen Ausdruck, den ich vereinfachen möchte. Ich möchte aber während dem Vereinfachen sicherstellen, dass der vereinfachte Ausdruck algebraisch gleichwertig ist. Wenn es also bestimmte x-Werte gibt, die dazu führen, dass dieser Ausdruck nicht definiert ist, muss ich die x-Werte dieses vereinfachten Ausdrucks beschränken. Du kannst das Video pausieren und es selbst versuchen, und dann machen wir es gemeinsam. Okay, fangen wir an. Welche x-Werte sorgen dafür, dass dieser Ausdruck nicht definiert ist? Naja, er ist nicht definiert, wenn wir durch 0 dividieren. Wenn x = 0 ist, haben wir 14 ⋅ 0, also ist er nicht definiert. Wir sagen also, dass x ≠ 0 ist. Für jeden anderen x-Wert können wir diesen Ausdruck lösen. Jetzt versuchen wir, ihn zu vereinfachen. Wenn du dir den Zählen und den Nenner anschaust, siehst du, dass jeder Term durch x und durch 7 teilbar ist. Wir können also 7x aus dem Zähler und aus dem Nenner ausklammern. Im Zähler steht dann 7x, wir klammern 7x von 14x² aus, es bleiben 2x übrig, und dann klammern wir 7x von 7x aus, und es bleibt eine 1 übrig. Wenn wir es anders betrachten, haben wir quasi das Distributivgesetz rückgängig gemacht. Wenn wir es jetzt wieder anwenden, rechnen wir 7x ⋅ 2x = 14x² und 7x ⋅ 1 = 7x. Jetzt klammern wir 7x aus dem Nenner aus. 14x können wir auch als 7x ⋅ 2 schreiben. Denk daran: Ich möchte, dass es algebraisch gleichwertig bleibt, also muss ich die Bedingung beibehalten, dass x nicht gleich 0 sein darf. Also dividieren wir den Zähler und Nenner durch 7x, oder anders betrachtet können wir 7x durch 7x dividieren und erhalten 1, und übrig bleibt (2x + 1)/2. Wenn das hier der ursprüngliche Ausdruck wäre, dann könnte x jeden Wert annehmen, aber wenn wir wollen, dass er mit dem ursprünglichen Ausdruck algebraisch gleichwertig ist, müssen wir dieselbe Beschränkung darauf anwenden. Wir müssen also x ≠ 0 dazuschreiben. Es ist nicht viel, aber trotzdem sehr wichtig. Wenn du z.B. eine Funktion durch diesen Ausdruck hier definierst, dürfte der Definitionsbereich keine 0 beinhalten. Und wenn du die Definition der Funktion so vereinfachst, und willst, dass diese Funktion gleichwertig ist, dann muss sie denselben Definitionsbereich haben. Sie muss für dieselben Werte definiert sein. Deshalb müssen wir auf beide dieselbe Beschränkung anwenden, damit sie gleichwertig sind. Wenn diese Beschränkung nicht wäre, würden die beiden Ausdrücke überall gleichwertig sein, außer wenn x = 0 ist. Dieser Ausdrück wäre für x = 0 definiert, dieser hier aber nicht, also wären sie nicht algebraisch gleichwertig. Diese Beschränkung sorgt dafür, dass sie algebraisch gleichwertig sind. Du kannst das hier natürlich auf verschiedene Arten schreiben. Du kannst jeden dieser Terme durch 2 dividieren, wenn du möchtest. Du könntest 2x durch 2 dividieren, und würdest x erhalten, und dann 1 durch 2 dividieren und 1/2 erhalten. Wie gesagt, wir müssten die Beschränkung beibehalten, dass x ≠ 0 ist. Kommen wir zu einem weiteren Beispiel. Es ist ein etwas schwieriger Ausdruck, aber dasselbe Prinzip. Versuchen wir, ihn zu vereinfachen. Beim Vereinfachen müssen wir aufpassen, dass wir die z-Werte so einschränken, dass wir einen algebraisch gleichwertigen Ausdruck erhalten. Denken wir darüber nach, für welche Werte dieser Ausdruck nicht definiert ist. Zuerst fragen wir uns, welchen gemeinsamen Teiler Zähler und Nenner haben. Jeder dieser Terme lässt sich durch z² und durch 17 dividieren, also können wir 17z² ausklammern. 17z² kann aus dem Zähler ausgeklammert werden. Wir klammern 17z² von 17z³ aus, und übrig bleibt ein z. Bei 17z² klammern wir 17z² aus und übrig bleibt eine 1. Du kannst das jetzt wieder ausmultiplizieren, indem du 17z² ⋅ z rechnest und 17z³ erhältst. 17z² ⋅ 1 = 17z². Jetzt kommen wir zum Nenner. Wir wollen 17z² aus dem Nenner ausklammern. Wir rechnen also 34z³/17z². 34/17 = 2. z³/z² = z. Dann haben wir -51/17 = 3, und z²/z² = 1. Wir sind also fertig. Hier drüben sieht man eindeutig, wie wir es vereinfachen. Wir dividieren einfach 17z² durch 17z², aber wir müssen aufpassen, dass wir den Definitionsbereich beschränken. Wir wissen, dass wenn z = 0 ist, dann ist dieses 17z² hier ebenfalls gleich 0, was bedeutet, dass der Nenner 0 wäre, und das sehen wir auch hier. Also sagen wir, dass z nicht gleich 0 sein darf. z darf außerdem nicht gleich dem Wert sein, der dafür sorgt, dass 2z - 3 gleich 0 wird. Denken wir also darüber nach, welcher Wert 2z - 3 gleich 0 werden lässt. 2z - 3 = 0. Wir addieren 3 zu beiden Seiten und erhalten 2z = 3. Wir dividieren beide Seiten durch 2 und erhalten z = 3/2. z darf also weder 0, noch 3/2 sein. Das ist also die Beschränkung unseres Definitionsbereichs. Aber kommen wir jetzt zum Vereinfachen. Beim Vereinfachen kürzen sich diese beiden weg, und es bleibt (z + 1)/(2z - 3) übrig. Und wir wollen diese Beschränkung z ≠ 0 beibehalten. Diese zweite Beschränkung ist überflüssig, da wir 2z - 3 hier stehen haben. Wenn sich jemand diesen Ausdruck anschaut, sieht er, dass der Nenner nicht 0 sein darf, und z deshalb nicht 3/2 sein darf. Wenn wir diesen Ausdruck also so stehen lassen, müssten wir die Beschränkung nicht dazuschreiben, da man dem Ausdruck schon ansieht, dass er nicht für z = 3/2 definiert ist. Fertig. Wenn jemand danach fragt, für welche Werte dieser Ausdruck nicht definiert ist, dann würdest du diese Beschränkung hinzufügen. Ich schreibe sie einfach dazu, es schadet ja nicht. z darf nicht 3/2 sein. Aber diese erste Beschränkung ist wirklich wichtig, da sie nicht offensichtlich ist, wenn man diesen Ausdruck anschaut. Dieser Ausdruck wie er da steht, wäre für z = 0 definiert, aber wenn wir wollen, dass er algebraisch gleichwertig mit diesen Ausdrücken ist, brauchen wir dieselben Beschränkungen dafür.