Einführung in die Vereinfachung von rationalen Ausdrücken

Als wir zuerst Brüche und rationale Zahlen kennengelernt haben, haben wir darüber gesprochen, Terme so klein wie möglich darzustellen. Wenn wir also sowas wie z.B. 3/6 gesehen haben, wussten wir, dass 3 und 6 einen gemeinsamen Teiler haben. Wir wissen, dass der Zähler 3 einfach nur 3 ist, aber dass 6 auch als 2 ⋅ 3 geschrieben werden kann. Und da sie den gemeinsamen Teiler 3 haben, können wir den Zähler und den Nenner durch 3 dividieren, oder wir können das als 3/3 betrachten und es kürzt sich weg. Und in kleinstmöglicher Form ist dieser Bruch 1/2. Oder wenn wir z.B. 8/24 haben, wissen wir, dass das dasselbe wie 8/(3 ⋅ 8) ist, und das ist dasselbe wie 1/3 ⋅ 8/8. Die 8er kürzen sich weg und unsere kleinste Form ist 1/3. Dasselbe Prinzip gilt für rationale Ausdrücke. Das sind rationale Zahlen. Rationale Ausdrücke sind quasi dasselbe, nur dass wir keine richtigen Zahlen im Zähler und Nenner haben, sondern Ausdrücke, die Variablen beinhalten. Ich zeige dir, was ich meine. Ich habe (9x + 3)/(12x + 4). Wir können bei dem Zähler ausklammern. Wir können eine 3 ausklammern. Es ist dasselbe wie 3(3x + 1). Das ist unser Zähler. Und bei unserem Nenner können wir eine 4 ausklammern. Es ist dasselbe wie 4(3x + 1). 12/4 = 3. 12x/4 = 3x. 4/4 = 1. Zähler und Nenner haben hier also wieder einen gemeinsamen Teiler. In diesem Fall ist es (3x + 1), ein Ausdruck mit einer Variablen. Es ist keine wirkliche Zahl, aber wir können genauso vorgehen. Sie kürzen sich weg. Wenn ich also diesen rationalen Ausdruck in kleinstmöglicher Form schreiben will, kann ich ihn als 3/4 schreiben. Kommen wir zu einem weiteren Beispiel. Nehmen wir (x² - 9)/(5x + 15). Was ergibt das? Beim Zähler können wir ausklammern, er ist eine Differenz von Quadraten. Wir haben (x + 3)(x - 3). Und im Nenner können wir eine 5 ausklammern. Das ergibt dann 5(x + 3). Wir haben wieder einen gemeinsamen Teiler im Zähler und Nenner, also können wir ihn wegkürzen. Aber wir haben in früheren Videos etwas besprochen, wobei wir sehr vorsichtig sein müssen. Wir können das wegkürzen, wir dürfen schreiben, dass es dasselbe wie (x - 3)/5 ist, aber wir müssen die x-Werte ausschließen, die dafür sorgen würden, dass dieser Nenner 0 wird, denn das würde dafür sorgen, dass der gesamte Ausdruck nicht definiert ist. Wir können also schreiben, dass es (x - 3)/5 ergibt, aber x darf nicht -3 sein. -3 würde dazu führen, dass das hier 0 wird. Das und das alles hier ist also gleichwertig. Das hier und nur das hier ist aber nicht gleichwertig, denn das hier ist für x = -3 definiert, aber das hier ist für x = -3 nicht definiert. Damit sie gleichwertig werden, muss ich die Bedingung dazuschreiben, dass x ≠ -3 ist. Genauso hier: Wenn wir die Funktion y = (9x + 3)/(12x + 4) hätten und sie zeichnen wollen, haben wir beim Vereinfachen (3x + 1) im Zähler und Nenner ausgeklammert. Das kürzt sich weg. Jetzt besteht die Versuchung, zu denken, dass das derselbe Graph wie y = 3/4 ist, wobei es sich um eine horizontale Gerade an der Stelle y = 3/4 handelt. Wir müssen aber eine Bedingung hinzufügen. Wir müssen die x-Werte ausschließen, die dafür sorgen würden, dass das hier 0 ergibt, und es wird 0, wenn x = -1/3 ist. Wenn x = -1/3 ist, dann würde dieser oder dieser Nenner 0 werden. Also müssten wir auch hier schreiben, dass x ≠ -1/3 ist. Diese Bedingung, dass x nicht -1/3 sein darf, sorgt dafür, dass diese Ausdrücke gleichwertig sind. Kommen wir zu weiteren Beispielen. (x² + 6x + 5)/(x² - x - 2). Wir wollen wieder im Zähler und Nenner ausklammern, so wie wir es mit den traditionellen Zahlen gemacht haben, als wir Brüche und kleinstmögliche Terme kennengelernt haben. Wenn ich im Zähler ausklammere, frage ich mich: Welche zwei Zahlen ergeben multipliziert 5 und addiert 6? Mir fallen die Zahlen 5 und 1 ein. Der Zähler ist also (x + 5)(x + 1). Jetzt suchen wir zwei Zahlen für unseren Nenner, die multipliziert -2 und addiert -1 ergeben. -2 und 1 fallen mir ein. Hier oben muss + 1 stehen. (x + 5)(x + 1). 1 ⋅ 5 = 5. 5x + 1x = 6x. Hier haben wir also eine 1 und eine -2. Also haben wir (x - 2)(x + 1). Jetzt haben wir einen gemeinsamen Teiler im Zähler und Nenner. Das kürzt sich weg. Wir könnten also sagen, dass das (x + 5)/(x - 2) ergibt. Aber damit die Terme wirklich gleichwertig sind, muss ich die Bedingung hinzufügen, dass x nicht -1 sein darf, da das hier sonst nicht definiert wäre. Wir müssen diese Bedingung hinzufügen, da das hier alleine für x = -1 definiert ist. Du könntest hier -1 einsetzen und würdest eine Zahl erhalten. Aber dieser Term hier ist bei x = -1 nicht definiert, deshalb müssen wir diese Bedingung hinzufügen, damit beide Terme wirklich gleichwertig sind. Jetzt machen wir ein schwierigeres Beispiel. Wir nehmen (3x² + 3x - 18)/(2x² + 5x - 3). Es ist immer ein bisschen schwieriger auszuklammern, wenn wir hier einen Koeffizienten haben, der nicht 1 ist. Aber wir wissen, wie das geht. Wir können gruppieren, und das hier ist eine gute Übung dafür. Wir wollen 3x² + 3x - 18 faktorisieren. Also müssen wir zwei Zahlen finden. Das ist nur eine Wiederholung, wie Gruppierung funktioniert. Wir suchen zwei Zahlen, die multipliziert 3 ⋅ (-18) bzw. -54 ergeben. 3 ⋅ (-18). Und wenn wir a + b addieren, müssen sie 3 ergeben, da wir 3 in ein a und ein b aufteilen. Welche Zahlen sind das also? Überlegen wir mal. Sie sind 3 auseinander. Eine muss positiv, die andere negativ sein. 9 ⋅ 6 = 54. Mit einer 9 und einer -6 würde es klappen. 9 - 6 = 3. 9 ⋅ (-6) = -54. Also können wir das hier oben umschreiben. Wir schreiben es als (3x² + 9x) - 6x - 18. Ich habe nur diese 3x in 9x - 6x umgewandelt. Das ist der einzige Unterschied zwischen diesen beiden Ausdrücken: ich habe die 3x in 9x - 6x umgewandelt. Wenn du sie addierst, erhältst du 3x. Du kannst die Klammern ignorieren, die ich hierhin geschrieben habe. Und das habe ich gemacht, damit ich jetzt gruppieren kann. Normalerweise entscheide ich welcher Term zu welchem passt basierend auf den Vorzeichen oder welche einen gemeinsamen Teiler haben. Sie haben beide den gemeinsamen Teiler 3. In dieser Situation ist es zwar nicht so wichtig, aber ich möchte die 9 auf dieser Seite stehen haben, da sie beide positiv sind. Wir klammern jetzt also 3x aus diesem linken Ausdruck aus. Wenn wir 3x ausklammern, erhalten wir 3x(x + 3). Wenn wir bei diesem Ausdruck eine -6 ausklammern, erhalten wir -6(x + 3). Und jetzt sehen wir eindeutig, dass unsere Gruppierung erfolgreich war. Jetzt können wir das als (3x - 6) (x + 3) schreiben. Wenn wir diese Klammern ausmultiplizieren, bekommen wir das hier. Den oberen Term können wir also als (3x - 6) (x + 3) schreiben. Das ist dieser Term hier. Das soll kein Minus sein. Es ist dieser Term hier. Jetzt faktorisieren wir den unteren Teil. Wenn ich 2x² + 5x + 3 faktorisieren will, muss ich zwei Zahlen finden, die als Produkt 2 ⋅ 3, also 6 ergeben, und als Summe 5 ergeben. Diese Zahlen sind 2 und 3. Ich kann das hier als 2x² + 2x + 3x + 3 schreiben. Dann setze ich es in Klammern. Ich habe die 2 mit der 2 gruppiert, da sie einen gemeinsamen Teiler haben, und ich habe die 3 mit der 3 gruppiert, da sie den gemeinsamen Teiler 3 haben. Das hier ist eine 2 und eine 3. Hier können wir also 2x ausklammern. Wenn du 2x ausklammerst, erhältst du 2x(x + 1), und wenn du hier eine 3 ausklammerst, hast du + 3(x + 1). Unsere Gruppierung war erfolgreich. Das hier ist eindeutig dasselbe wie (2x + 3)(x + 1). Hier konnten wir also auch ausklammern. Wir konnten auch im Nenner ausklammern. Mir fällt gerade auf, dass ich einen Fehler gemacht habe. Hier steht - 3. Ich habe hier drüben + 3 geschrieben. Ich mache das nochmal neu. Das wäre ein schlimmer Fehler gewesen. Ich lösche diesen Teil. Wir haben 2x² + 5x - 3. a ⋅ b muss -3 ⋅ 2 ergeben, was -6 ergibt. Und a + b muss 5 ergeben. Wenn wir 6 und -1 nehmen, müsste das stimmen. 6 - 1 = 5. 6 ⋅ (-1) = -6. Das wäre ein schlimmer Fehler gewesen. Das hier oben können wir als 2x² schreiben, und ich gruppiere die 6 mit 2x², da sie einen gemeinsamen Teiler haben, dann haben wir + 6x - x, was dasselbe wie 5x ist, -3. Ich musste nur die Zahlen finden, in die ich 5x aufspalten kann. 6x - x ergibt also 5x. Und wenn ich hier Klammern setze, kann ich aus diesem ersten Term 2x ausklammern. Dann habe ich 2x(x + 3). Und hier kann ich eine -1 ausklammern, und bekomme dann -1(x + 3). Unsere Gruppierung war erfolgreich. Wir erhalten (2x - 1)(x + 3). Unser Nenner ist also (2x - 1)(x + 3). Und wir haben wieder einen gemeinsamen Teiler in unserem Zähler und Nenner: x + 3. Aber wir müssen die Bedingung dazuschreiben, dass x nicht -3 sein darf, weil wir dann durch 0 dividieren müssten, was nicht definiert ist. Wir müssen also festlegen, dass x nicht -3 sein darf. Dieser Ausdruck hier oben ist derselbe wie (3x - 6)/(2x - 1), wenn wir die Bedingung stellen, dass x ≠ -3 ist. Ich hoffe, das hilft dir weiter.