Rationale Ausdrücke vereinfachen: gegenüberliegende, gemeinsame binomiale Faktoren

Vereinfache den rationalen Ausdruck und gib den Definitionsbereich an. Wir beginnen damit, den Definitionsbereich anzugeben. Der Definitionsbereich gibt alle x-Werte an, die du in diesen Ausdruck einsetzen kannst, wenn du ihn als eine Funktion f(x) betrachtest. Der Definitionsbereich gibt alle x-Werte an, die du in diese Funktion einsetzen kannst und für die du dann ein definiertes Ergebnis bekommst. Der eine x-Wert der hier zu einem nicht definierten Ergebnis führen würde, ist der x-Wert, der den Nenner 0 werden lässt. Welcher x-Wert ist das? 6 - x = 0. Wir addieren x zu beiden Seiten. Wir erhalten 6 = x, der Definitionsbereich der Funktion besteht also aus allen reellen Zahlen außer der 6. x kann also alle reelle Zahlen außer 6 sein, denn wenn x = 6 wäre, würden wir durch 0 dividieren und dann wäre dieser Ausdruck nicht definiert. Wir haben den Definitionsbereich angegeben. Jetzt kommen wir zum Vereinfachen des rationalen Ausdrucks. Ich schreibe ihn nochmal auf. (x² - 36)/(6 - x). Es fällt dir vielleicht auf, dass es sich um eine besondere Art von Binom handelt. Es hat die Form a² - b² und wir kennen es bereits. Es ist dasselbe wie (a + b)(a - b). In diesem Fall ist a = x und b = 6. Wir können diesen Ausdruck also als (x + 6)(x - 6)/(6 - x) schreiben. Dir fällt vielleicht auf, dass du ein (x - 6) und ein (6 - x) hast. Sie sind nicht gleichwertig, aber dir fällt vielleicht auf, dass sie Negative voneinander sind. Probier es aus, indem du einmal mit -1 multiplizierst und dann noch einmal. Wenn ich mit (-1 ⋅ (-1)) multipliziere, multipliziere ich nur mit 1, also ändere ich absolut nichts am Zähler. Was passiert, wenn wir nur (x - 6) mit der ersten -1 multiplizieren? Was passiert mit (x - 6)? Ich schreibe es nochmal auf. Wir haben (x + 6) und ich wende das Distributivgesetz mit dieser -1 an. Wenn ich die -1 ausmultipliziere, habe ich -1 ⋅ x = -x. -1 ⋅ (-6) = 6. Und dann habe ich hier ⋅ (-1) stehen. Im Nenner haben wir (6 - x). (-x + 6) ist genau dasselbe wie (6 - x), du änderst nur die Reihenfolge der beiden Terme. (-x + 6) ist dasselbe wie (6 + (-x)) bzw. (6 - x). Jetzt kannst du sie wegkürzen. (6 - x)/(6 - x). Es bleibt nur -1 ⋅ (x + 6) übrig. Du kannst es ausmultiplizieren und erhältst -x - 6. Das ist der vereinfachte rationale Ausdruck. Allgemein musst du diesen Prozess nicht durchführen, zweimal mit -1 zu multiplizieren. Aber du solltest in der Lage sein, zu erkennen, dass wenn du (a - b)/(b - a) hast, es -1 ergibt. Anders gesagt: (a - b) ist dasselbe wie - (b - a). Wenn du das negative Vorzeichen ausmultiplizierst, erhältst du - (b + a), und das ist genau dasselbe wie das hier. Wir sind fertig.