Rationale Ausdrücke vereinfachen: Gruppieren

Vereinfache den rationalen Ausdruck und gib den Definitionsbereich an. Wir haben wieder ein Trinom im Zähler und Nenner. Um zu sehen, ob wir sie vereinfachen können, müssen wir bei beiden ausklammern. Das hilft uns, den Definitionsbereich zu finden. Der Definitionsbereich gibt alle gültige x-Werte an, die wir in diesen Ausdruck einsetzen können, und bei denen wir als Ergebnis nicht etwas erhalten, das undefiniert ist. Jetzt klammern wir beim Zähler und Nenner aus. Wir beginnen beim Zähler und da wir vorne eine 2 stehen haben, ist es am besten, wenn wir gruppieren. Wir schreiben den Zähler also um. 2x² + 13x + 20. Wir müssen zwei Zahlen a und b finden, die multipliziert 2 ⋅ 20, also 40 ergeben, und addiert 13 ergeben. Mir fallen sofort 5 und 8 ein. 5 ⋅ 8 = 40. 5 + 8 = 13. Wir können 13x in 5x und 8x aufspalten, und das als 2x² umschreiben, dann teile ich die 13x in 8x + 5x auf, ich schreibe zuerst 8x, da die 8 gemeinsame Teiler mit der 2 hat, also können wir vielleicht 2x hier ausklammern. Das vereinfacht es etwas. 5 hat gemeinsame Teiler mit der 20, also machen wir mal weiter. Am Ende haben wir + 20 und jetzt können wir gruppieren. Darum geht es, wenn wir mithilfe von Gruppierung ausklammern. Du gruppierst die ersten beiden Terme. Wir klammern 2x aus. 2x²/2x = x. 8x/2x = 4. Jetzt gruppieren wir diese zwei Terme. Was bekommen wir, wenn wir 5 ausklammern? Wir erhalten + 5(x + 4). 5x/5 = x, 20/5 = 4. Wir haben in beiden Fällen (x + 4), also können wir das ausklammern. Wir haben (x + 4) multipliziert mit zwei Termen. Wir können es ausmultiplizieren. Hier drüben haben wir (x + 4)(2x + 5). Wir haben den Zähler fertig ausgeklammert. Jetzt machen wir dasselbe mit dem Nenner. Wir haben 2x² + 17x + 30. Wir suchen ein a und ein b. Wenn ich sie multipliziere, erhalte ich 2 ⋅ 30, also 60. Und wenn ich sie addiere, erhalte ich 17. 5 und 12 sind meine gesuchten Zahlen. Also teilen wir 17x in zwei Terme auf. Wir teilen die 17x auf in 12x + 5x, was 17x ergibt. Wenn du 12 ⋅ 5 multiplizierst, erhältst du 60, und dann haben wir noch + 30. In der ersten Gruppe können wir 2x ausklammern. Dann haben wir 2x(x + 6). In der zweiten Gruppen können wir eine 5 ausklammern. Dann haben wir 5(x + 6). Jetzt können wir (x + 6) ausklammern, und wir erhalten (x + 6)(2x + 5). Wir haben jetzt bei unserem Zähler und Nenner ausgeklammert. Wir schreiben diesen rationalen Ausdruck jetzt nochmal nach dem Ausklammern auf. Der Zähler ist (x + 4)(2x + 5). Das haben wir hier herausgefunden. Und der Nenner ist (x + 6)(2x + 5). Du siehst, dass (2x + 5) sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt, und wir den Term wegkürzen können. Bevor wir das machen, beantworten wir aber den zweiten Teil der Aufgabe. Wir sollen den Definitionsbereich angeben. Welche gültigen x-Werte können wir hier einsetzen? Eine interessantere Frage ist, welche x-Werte dazu führen, dass dieser rationale Ausdruck nicht definiert ist? Es sind die x-Werte, die den Nenner gleich 0 werden lassen. Wann wird der Nenner gleich 0? Entweder wenn x + 6 = 0 ist, oder wenn 2x + 5 = 0 ist. Wir lösen einfach nach x auf. Wir subtrahieren 6 von beiden Seiten und erhalten x = -6. Wenn du 5 von beiden Seiten subtrahierst, erhältst du 2x = -5. Dividiere beide Seiten durch 2. Du erhältst x = -5/2. Der Definitionsbereich besteht also aus allen reellen Zahlen außer x = -6 und x = -5/2. Wir müssen sie ausschließen, da sie dazu führen würden, dass der Nenner 0 wird, und dadurch wäre der ganze rationale Ausdruck nicht definiert. Wir haben den Definitionsbereich angegeben. Jetzt vereinfachen wir den rationalen Ausdruck. Wir haben bereits gesagt, dass x nicht -5/2 oder -6 sein darf, also dividieren wir Zähler und Nenner durch (2x + 5). Wenn wir uns (2x + 5) anschauen, sehen wir, dass es nicht 0 wird, da x nicht -5/2 sein darf, also können wir es wegkürzen. Der vereinfachte rationale Ausdruck ist (x + 4)/(x + 6).