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Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 6

Lektion 1: Vereinfachen von rationalen Ausdrücken
Mathematik
Algebra 2
Rationale Beziehungen
Vereinfachen von rationalen Ausdrücken
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Rationale Ausdrücke vereinfachen (fortgeschritten)

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Hast Du die Grundlagen der Vereinfachung von rationalen Ausdrücken gelernt? Großartig! Gewinne jetzt mehr Erfahrung mit einigen schwierigeren Beispielen.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Ein rationaler Ausdruck ist ein Verhältnis von zwei Polynomen. Ein rationaler Ausdruck wird als vereinfacht betrachtet, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Faktoren haben.
Wenn dies neu für dich ist, empfehlen wir dir, unsere Einführung zur Vereinfachung von rationalen Ausdrücken anzuschauen.

Was du in dieser Lektion lernst

In dieser Lektion übst du die Vereinfachung komplexerer rationaler Ausdrücke. Schauen wir uns zwei Beispiele an, und dann kannst du einige Aufgaben ausprobieren!

Beispiel 1: space, start fraction, 10, x, cubed, divided by, 2, x, squared, minus, 18, x, end fraction vereinfachen

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner
Hier ist es wichtig zu beachten, dass, obwohl der Zähler ein Monom ist, wir diesen auch faktorisieren können.
start fraction, 10, x, cubed, divided by, 2, x, squared, minus, 18, x, end fraction, equals, start fraction, 2, dot, 5, dot, x, dot, x, squared, divided by, 2, dot, x, dot, left parenthesis, x, minus, 9, right parenthesis, end fraction
Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten
Aus der faktorisierten Form sehen wir, dass x, does not equal, 0 und x, does not equal, 9 ist.
Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen
2⋅5⋅x⋅x22⋅x⋅(x−9)=2⋅5⋅x⋅x22⋅x⋅(x−9)=5x2x−9\begin{aligned}\dfrac{ \tealD 2\cdot 5\cdot \purpleC{x}\cdot x^2}{ \tealD 2\cdot \purpleC{x}\cdot (x-9)}&=\dfrac{ \tealD{\cancel{ 2}}\cdot 5\cdot \purpleC{\cancel{x}}\cdot x^2}{ \tealD{\cancel{ 2}}\cdot \purpleC{\cancel{x}}\cdot (x-9)}\\ \\ &=\dfrac{5x^2}{x-9} \end{aligned}
Schritt 4: Endgültige Antwort
Wir schreiben die vereinfachte Form wie folgt:
start fraction, 5, x, squared, divided by, x, minus, 9, end fraction für x, does not equal, 0

Wichtigste Erkenntnis

In diesem Beispiel sehen wir, dass wir manchmal Monome faktorisieren müssen, um einen rationalen Ausdruck zu vereinfachen.

Überprüfe dein Verständnis

1) Vereinfache start fraction, 6, x, squared, divided by, 12, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 9, x, cubed, end fraction.
Wähle eine Lösung.

Beispiel 2: space, start fraction, left parenthesis, 3, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction vereinfachen

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner
Obwohl es nicht so scheint, dass es irgendwelche gemeinsamen Faktoren gibt, sind x, minus, 3 und 3, minus, x verwandt. In der Tat können wir den Zähler minus, 1 aus dem Zähler ausklammern, um den gemeinsamen Faktor x, minus, 3 zu erhalten.
=(3−x)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(−3+x)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)Kommutativita¨t\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{(3-x)(x-1)}{(x-3)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{\goldD{-1}{(-3+x)}(x-1)}{{(x-3)}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\quad\small{\gray{\text{Kommutativität}}} \end{aligned}
Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten
Aus der faktorisierten Form sehen wir, dass x, does not equal, 3 und x, does not equal, minus, 1 ist.
Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen
=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−1)x+1=1−xx+1\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\\\\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x-1)}{{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{-1(x-1)}{x+1} \\\\ &=\dfrac{1-x}{x+1} \end{aligned}
Der letzte Schritt, die Multiplikation von minus, 1 mit dem Zähler war nicht notwendig, aber es ist üblich, dies zu tun.
Schritt 4: Endgültige Antwort
Wir schreiben die gekürzte Form wie folgt:
start fraction, 1, minus, x, divided by, x, plus, 1, end fraction für x, does not equal, 3

Wichtigste Erkenntnis

Die Faktoren x, minus, 3 und 3, minus, x sind Gegenzahlen, da minus, 1, dot, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 3, minus, x.
In diesem Beispiel haben wir gesehen, dass diese Faktoren gekürzt wurden, dass jedoch ein Faktor von minus, 1 hinzugefügt wurde. Mit anderen Worten, die Faktoren x, minus, 3 und 3, minus, x wurden gekürzt zu start text, negative, 1, end text.
Im Allgemeinen werden die Gegenzahl-Faktoren a, minus, b und b, minus, a gekürzt zu minus, 1 unter der Voraussetzung, dass a, does not equal, b.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

2) Vereinfache start fraction, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, divided by, left parenthesis, 2, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end fraction.
Wähle eine Lösung.

3) Vereinfache start fraction, 15, minus, 10, x, divided by, 8, x, cubed, minus, 12, x, squared, end fraction.
für x, does not equal
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Probieren wir noch ein paar Aufgaben

4) Vereinfache start fraction, 3, x, divided by, 15, x, squared, minus, 6, x, end fraction.
Wähle eine Lösung.

5) Vereinfache start fraction, 3, x, cubed, minus, 15, x, squared, plus, 12, x, divided by, 3, x, minus, 3, end fraction.
für x, does not equal
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

6) start fraction, 6, x, squared, minus, 12, x, divided by, 6, x, minus, 3, x, squared, end fraction vereinfachen.
Wähle eine Lösung.

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