Rationale Ausdrücke vereinfachen (fortgeschritten)

Hast Du die Grundlagen der Vereinfachung von rationalen Ausdrücken gelernt? Großartig! Gewinne jetzt mehr Erfahrung mit einigen schwierigeren Beispielen.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Ein rationaler Ausdruck ist ein Verhältnis von zwei Polynomen. Ein rationaler Ausdruck wird als vereinfacht betrachtet, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Faktoren haben.
Wenn dies neu für dich ist, empfehlen wir dir, unsere Einführung zur Vereinfachung von rationalen Ausdrücken anzuschauen.

Was du in dieser Lektion lernst

In dieser Lektion übst du die Vereinfachung komplexerer rationaler Ausdrücke. Schauen wir uns zwei Beispiele an, und dann kannst du einige Aufgaben ausprobieren!

Beispiel 1:  10x32x218x~\dfrac{10x^3}{2x^2-18x} vereinfachen

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner
Hier ist es wichtig zu beachten, dass, obwohl der Zähler ein Monom ist, wir diesen auch faktorisieren können.
10x32x218x=25xx22x(x9)\dfrac{10x^3}{2x^2-18x}=\dfrac{ 2\cdot 5\cdot x\cdot x^2}{ 2\cdot x\cdot (x-9)}
Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten
Aus der faktorisierten Form sehen wir, dass x0{x\neq0} und x9{x\neq9} ist.
Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen
25xx22x(x9)=25xx22x(x9)=5x2x9\begin{aligned}\dfrac{ \tealD 2\cdot 5\cdot \purpleC{x}\cdot x^2}{ \tealD 2\cdot \purpleC{x}\cdot (x-9)}&=\dfrac{ \tealD{\cancel{ 2}}\cdot 5\cdot \purpleC{\cancel{x}}\cdot x^2}{ \tealD{\cancel{ 2}}\cdot \purpleC{\cancel{x}}\cdot (x-9)}\\ \\ &=\dfrac{5x^2}{x-9} \end{aligned}
Schritt 4: Endgültige Antwort
Wir schreiben die vereinfachte Form wie folgt:
5x2x9\dfrac{5x^2}{x-9} für x0x\neq 0

Wichtigste Erkenntnis

In diesem Beispiel sehen wir, dass wir manchmal Monome faktorisieren müssen, um einen rationalen Ausdruck zu vereinfachen.

Überprüfe dein Verständnis

Beispiel 2:  (3x)(x1)(x3)(x+1)~\dfrac{(3-x)(x-1)}{(x-3)(x+1)} vereinfachen

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner
Obwohl es nicht so scheint, dass es irgendwelche gemeinsamen Faktoren gibt, sind x3x-3 und 3x3-x verwandt. In der Tat können wir den Zähler 1-1 aus dem Zähler ausklammern, um den gemeinsamen Faktor x3x-3 zu erhalten.
=(3x)(x1)(x3)(x+1)=1(3+x)(x1)(x3)(x+1)=1(x3)(x1)(x3)(x+1)Kommutativitta¨\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{(3-x)(x-1)}{(x-3)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{\goldD{-1}{(-3+x)}(x-1)}{{(x-3)}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\quad\small{\gray{\text{Kommutativität}}} \end{aligned}
Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten
Aus der faktorisierten Form sehen wir, dass x3{x\neq3} und x1{x\neq-1} ist.
Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen
=1(x3)(x1)(x3)(x+1)=1(x3)(x1)(x3)(x+1)=1(x1)x+1=1xx+1\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\\\\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x-1)}{{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{-1(x-1)}{x+1} \\\\ &=\dfrac{1-x}{x+1} \end{aligned}
Der letzte Schritt, die Multiplikation von 1-1 mit dem Zähler war nicht notwendig, aber es ist üblich, dies zu tun.
Schritt 4: Endgültige Antwort
Wir schreiben die gekürzte Form wie folgt:
1xx+1\dfrac{1-x}{x+1} für x3x\neq 3

Wichtigste Erkenntnis

Die Faktoren x3x-3 und 3x3-x sind Gegenzahlen, da 1(x3)=3x-1\cdot (x-3)=3-x.
In diesem Beispiel haben wir gesehen, dass diese Faktoren gekürzt wurden, dass jedoch ein Faktor von 1-1 hinzugefügt wurde. Mit anderen Worten, die Faktoren x3x-3 und 3x3-x wurden gekürzt zu -1\textit{-1}.
Im Allgemeinen werden die Gegenzahl-Faktoren aba-b und bab-a gekürzt zu 1-1 unter der Voraussetzung, dass aba\neq b.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Probieren wir noch ein paar Aufgaben

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