Einführung in die Vereinfachung von rationalen Ausdrücken

Erfahre, was es bedeutet, einen rationalen Ausdruck zu vereinfachen, und wie es gemacht wird!

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Ein rationaler Ausdruck ist ein Verhältnis von zwei Polynomen. Der Definitionsbereich eines rationalen Ausdrucks sind alle reellen Zahlen, mit Ausnahme derjenigen, die den Nenner gleich Null machen.
Zum Beispiel ist der Definitionsbereich des rationalen Ausdrucks x+2x+1\dfrac{x+2}{x+1} alle reellen Zahlen außer -1\textit{-1} oder x1x\neq -1.
Wenn dies neu für dich ist, empfehlen wir dir, unsere Einführung zu rationalen Ausdrücken anzuschauen.
Du solltest für diese Lektion auch wissen, wie du Polynome faktorisierst.

Was du in dieser Lektion lernst

In diesem Artikel werden wir lernen, rationale Ausdrücke zu vereinfachen, indem wir uns einige Beispiele ansehen.

Einführung

Ein rationaler Ausdruck wird als vereinfacht betrachtet, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Faktoren haben.
Wir können rationalen Ausdrücke in der gleichen Weise vereinfachen, wie wir numerische Brüche vereinfachen.
Die vereinfachte Version von 68\dfrac 68 ist beispielsweise 34\dfrac{3}{4}. Beachte, wie wir den gemeinsamen Faktor 22 aus dem Zähler und dem Nenner gekürzt haben:
68=2324Faktor=2324Eliminiere gemeinsame Faktoren=34Vereinfache\begin{aligned} \dfrac68&= \dfrac{2\cdot 3}{2\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Faktor}}} \\\\ &= \dfrac{\tealD{\cancel{2}}\cdot 3}{\tealD{\cancel{2}}\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Eliminiere gemeinsame Faktoren}}} \\ \\ &= \dfrac{3}{4} &&\small{\gray{\text{Vereinfache}}} \end{aligned}

Beispiel 1: x2+3xx2+5x\dfrac{x^2+3x}{x^2+5x} vereinfachen

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner
Der einzige Weg, um zu sehen, ob Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren haben, ist, sie zu faktorisieren!
x2+3xx2+5x=x(x+3)x(x+5)\dfrac{x^2+3x}{x^2+5x}=\dfrac{ x(x+3)}{ x(x+5)}
Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten
An dieser Stelle ist es hilfreich, die Einschränkungen für xx zu beachten. Diese werden auf den vereinfachten Ausdruck übertragen.
Da die Division durch 00 nicht definiert ist, sehen wir hier, dass x0\blueD{x\neq0} und x5\purpleC{x\neq -5}.
x(x+3)x(x+5)\dfrac{ x(x+3)}{ \blueD x\purpleC{(x+5)}}
Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen
Beachte nun, dass Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor von xx haben. Dieser kann gekürzt werden.
x(x+3)x(x+5)=x(x+3)x(x+5)=x+3x+5\begin{aligned}\dfrac{\tealD x(x+3)}{\tealD x(x+5)}&=\dfrac{\tealD {\cancel {x}}(x+3)}{\tealD{\cancel x}(x+5)}\\ \\ &=\dfrac{x+3}{x+5} \end{aligned}
Schritt 4: Endgültige Antwort
Erinnere dich daran, dass der ursprüngliche Ausdruck für x0,5x\neq 0,-5 definiert ist. Der vereinfachte Ausdruck muss dieselben Einschränkungen haben.
Deswegen müssen wir notieren, dass x0x\neq 0. Wir brauchen nicht zu notieren, dass x5x\neq -5, da dies aus dem Ausdruck erkennbar ist.
Abschließend wird die vereinfachte Form wie folgt geschrieben:
x+3x+5\dfrac{x+3}{x+5} für x0x\neq 0

Ein Hinweis über äquivalente Ausdrücke

Ursprünglicher Ausdruck\quadVereinfachter Ausdruck
x2+3xx2+5x\dfrac{x^2+3x}{x^2+5x}\quadx+3x+5\dfrac{x+3}{x+5} für x0x\neq 0
Die beiden obigen Ausdrücke sind äquivalent. Dies bedeutet, dass ihre Ausgabewerte für alle möglichen xx-Werte gleich sind. Die folgende Tabelle veranschaulicht dies für x=2x=2.
| Ursprünglicher Ausdruck | \quad | Vereinfachter Ausdruck : - | : - | : - | : - Bewertung bei x=2\purpleC{x=2} | (2)2+3(2)(2)2+5(2)=1014=2527=2527=57\begin{aligned}\dfrac{(\purpleC{2})^2+3(\purpleC{2})}{(\purpleC{2})^2+5(\purpleC{2})}&=\dfrac{10}{14}\\\\&=\dfrac{\purpleC{{2}}\cdot 5}{\purpleC{{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{\purpleC{\cancel{2}}\cdot 5}{\purpleC{\cancel{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{5}{7}\end{aligned} | |2+32+5=57=57=57=57\begin{aligned}\dfrac{\purpleC{2}+3}{\purpleC{2}+5}&=\dfrac{5}{7}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\end{aligned} Hinweis | Das Ergebnis wird vereinfacht, indem der gemeinsame Faktor 2\purpleC 2 gekürzt wird. | | Das Ergebnis ist bereits vereinfacht, da der Faktor xx ((in diesem Fall x=2)\purpleC{x=2}) bereits während des Vereinfachungsprozesses gekürzt wurde.
Aus diesem Grund haben die beiden Ausdrücke den gleichen Wert für dieselbe Eingabewerte. Die Werte, die den ursprünglichen Ausdruck undefiniert machen, verletzen jedoch häufig diese Regel. Beachte, wie dies bei x=0\purpleC{x=0} der Fall ist.
| Ursprünglicher Ausdruck | \quad | Vereinfachter Ausdruck (ohne Einschränkung) : - | : - | : - | : - Bewertung bei x=0\purpleC{x=0} | (0)2+3(0)(0)2+5(0)=00=nicht definiert\begin{aligned}\dfrac{(\purpleC{0})^2+3(\purpleC{0})}{(\purpleC{0})^2+5(\purpleC{0})}&=\dfrac{0}{0}\\\\&=\text{nicht definiert}\end{aligned} | | 0+30+5=35nicht definiert\begin{aligned}\dfrac{\purpleC{0}+3}{\purpleC{0}+5}&=\dfrac{3}{5}\\\\\\\\&\phantom{\text{nicht definiert}}\end{aligned}
Da die beiden Ausdrücke für alle möglichen Eingaben äquivalent sein müssen, müssen wir x0x\neq 0 für den vereinfachten Ausdruck voraussetzen.

Warnung: Typisches Missverständnis

Beachte, dass wir die xx im folgenden Ausdruck nicht kürzen können. Dies liegt daran, dass dies eher Terme und nicht Faktoren der Polynome sind!
x+3x+5  \dfrac{x+3}{x+5}~~\Large{\goldD{\neq}}  35~\dfrac{3}{5}
Dies wird deutlich, wenn man sich ein numerisches Beispiel anschaut. Angenommen z.B., dass x=2\purpleC{x=2}.
2+32+5  \dfrac{\purpleC2+3}{\purpleC2+5}~~\Large{\goldD{\neq}} 35~\dfrac{3}{5}
In der Regel können wir nur kürzen, wenn Zähler und Nenner in der faktorisierten Form sind!

Zusammenfassung des Vereinfachungsprozesses

  • Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und den Nenner.
  • Schritt 2: Liste die eingeschränkten Werte auf.
  • Schritt 3: Kürze gemeinsame Faktoren.
  • Schritt 4: Vereinfache und notiere alle eingeschränkten Werte, die nicht durch den Ausdruck vorausgesetzt werden.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Beispiel 2: x29x2+5x+6\dfrac{x^2-9}{x^2+5x+6} vereinfachen

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner
x29x2+5x+6=(x3)(x+3)(x+2)(x+3)\dfrac{x^2-9}{x^2+5x+6}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{({x+2})({x+3})}
Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten
Da die Division durch 00 nicht definiert ist, sehen wir hier, dass x2\blueD{x\neq-2} und x3\purpleC{x\neq -3}.
(x3)(x+3)(x+2)(x+3)\dfrac{(x-3)(x+3)}{\blueD{(x+2)}\purpleC{(x+3)}}
Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen
Beachte, dass Zähler und Nenner den gemeinsamen Faktor x+3\tealD{x+3} haben. Dieser kann gekürzt werden.
(x3)(x+3)(x+2)(x+3)=(x3)(x+3)(x+2)(x+3)=x3x+2\begin{aligned}\dfrac{(x-3)\tealD{(x+3)}}{(x+2)\tealD{(x+3)}}&=\dfrac{(x-3)\tealD{\cancel{(x+3)}}}{(x+2)\tealD{\cancel{(x+3)}}}\\ \\ &=\dfrac{x-3}{x+2} \end{aligned}
Schritt 4: Endgültige Antwort
Wir schreiben die vereinfachte Form wie folgt:
x3x+2\dfrac{x-3}{x+2} für x3x\neq -3
Der ursprüngliche Ausdruck setzt voraus, dass x2,3x\neq-2,-3. Wir brauchen nicht zu notieren, dass x2x\neq -2, da dies aus dem Ausdruck erkennbar wird.

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Was kommt als nächstes?

Du kannst zu unserem weiterführender Artikel über die Vereinfachung von rationalen Ausdrücken weitergehen, wo du mehr Beispiele mit schwierigeren Fällen siehst.
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