Hauptinhalt
Algebra 2
Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 6
Lektion 1: Vereinfachen von rationalen Ausdrücken- Einführung in die Vereinfachung von rationalen Ausdrücken
- Einführung in rationale Ausdrücke
- Einführung in die Vereinfachung von rationalen Ausdrücken
- Rationale Ausdrücke vereinfachen: gemeinsame monomiale Faktoren
- Rationale Ausdrücke vereinfachen: Gemeinsame Monom-Faktoren
- Rationale Ausdrücke vereinfachen: gemeinsame binomiale Faktoren
- Rationale Ausdrücke vereinfachen: gegenüberliegende, gemeinsame binomiale Faktoren
- Rationale Ausdrücke vereinfachen (fortgeschritten)
- Vereinfache rationale Ausdrücke: gemeinsame binomiale Faktoren
- Rationale Ausdrücke vereinfachen: Gruppieren
- Rationale Ausdrücke vereinfachen: höhergradige Terme
- Rationale Ausdrücke vereinfachen (fortgeschritten)
- Rationale Ausdrücke vereinfachen (altes Video)
© 2023 Khan AcademyNutzungsbedingungenDatenschutzerklärungCookie-Meldung
Einführung in die Vereinfachung von rationalen Ausdrücken
Erfahre, was es bedeutet, einen rationalen Ausdruck zu vereinfachen, und wie es gemacht wird!
Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest
Ein rationaler Ausdruck ist ein Verhältnis von zwei Polynomen. Der Definitionsbereich eines rationalen Ausdrucks sind alle reellen Zahlen, mit Ausnahme derjenigen, die den Nenner gleich Null machen.
Zum Beispiel ist der Definitionsbereich des rationalen Ausdrucks start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction alle reellen Zahlen außer start text, negative, 1, end text oder x, does not equal, minus, 1.
Wenn dies neu für dich ist, empfehlen wir dir, unsere Einführung zu rationalen Ausdrücken anzuschauen.
Du solltest für diese Lektion auch wissen, wie du Polynome faktorisierst.
Was du in dieser Lektion lernst
In diesem Artikel werden wir lernen, rationale Ausdrücke zu vereinfachen, indem wir uns einige Beispiele ansehen.
Einführung
Ein rationaler Ausdruck wird als vereinfacht betrachtet, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Faktoren haben.
Wir können rationalen Ausdrücke in der gleichen Weise vereinfachen, wie wir numerische Brüche vereinfachen.
Die vereinfachte Version von start fraction, 6, divided by, 8, end fraction ist beispielsweise start fraction, 3, divided by, 4, end fraction. Beachte, wie wir den gemeinsamen Faktor 2 aus dem Zähler und dem Nenner gekürzt haben:
Beispiel 1: start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction vereinfachen
Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner
Der einzige Weg, um zu sehen, ob Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren haben, ist, sie zu faktorisieren!
Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten
An dieser Stelle ist es hilfreich, die Einschränkungen für x zu beachten. Diese werden auf den vereinfachten Ausdruck übertragen.
Da die Division durch 0 nicht definiert ist, sehen wir hier, dass start color #11accd, x, does not equal, 0, end color #11accd und start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 5, end color #aa87ff.
Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen
Beachte nun, dass Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor von x haben. Dieser kann gekürzt werden.
Schritt 4: Endgültige Antwort
Erinnere dich daran, dass der ursprüngliche Ausdruck für x, does not equal, 0, comma, minus, 5 definiert ist. Der vereinfachte Ausdruck muss dieselben Einschränkungen haben.
Deswegen müssen wir notieren, dass x, does not equal, 0. Wir brauchen nicht zu notieren, dass x, does not equal, minus, 5, da dies aus dem Ausdruck erkennbar ist.
Abschließend wird die vereinfachte Form wie folgt geschrieben:
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction für x, does not equal, 0
Ein Hinweis über äquivalente Ausdrücke
Ursprünglicher Ausdruck | Vereinfachter Ausdruck | |
---|---|---|
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction | start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction für x, does not equal, 0 |
Die beiden obigen Ausdrücke sind äquivalent. Dies bedeutet, dass ihre Ausgabewerte für alle möglichen x-Werte gleich sind. Die folgende Tabelle veranschaulicht dies für x, equals, 2.
| Ursprünglicher Ausdruck | | Vereinfachter Ausdruck
: - | : - | : - | : -
Bewertung bei start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff | | |
Hinweis | Das Ergebnis wird vereinfacht, indem der gemeinsame Faktor start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff gekürzt wird. | | Das Ergebnis ist bereits vereinfacht, da der Faktor x left parenthesisin diesem Fall start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff, right parenthesis bereits während des Vereinfachungsprozesses gekürzt wurde.
Aus diesem Grund haben die beiden Ausdrücke den gleichen Wert für dieselbe Eingabewerte. Die Werte, die den ursprünglichen Ausdruck undefiniert machen, verletzen jedoch häufig diese Regel. Beachte, wie dies bei start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff der Fall ist.
| Ursprünglicher Ausdruck | | Vereinfachter Ausdruck (ohne Einschränkung)
: - | : - | : - | : -
Bewertung bei start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff | | |
Da die beiden Ausdrücke für alle möglichen Eingaben äquivalent sein müssen, müssen wir x, does not equal, 0 für den vereinfachten Ausdruck voraussetzen.
Warnung: Typisches Missverständnis
Beachte, dass wir die x im folgenden Ausdruck nicht kürzen können. Dies liegt daran, dass dies eher Terme und nicht Faktoren der Polynome sind!
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10 space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
Dies wird deutlich, wenn man sich ein numerisches Beispiel anschaut. Angenommen z.B., dass start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff.
start fraction, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 3, divided by, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
In der Regel können wir nur kürzen, wenn Zähler und Nenner in der faktorisierten Form sind!
Zusammenfassung des Vereinfachungsprozesses
- Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und den Nenner.
- Schritt 2: Liste die eingeschränkten Werte auf.
- Schritt 3: Kürze gemeinsame Faktoren.
- Schritt 4: Vereinfache und notiere alle eingeschränkten Werte, die nicht durch den Ausdruck vorausgesetzt werden.
Überprüfe, ob du es verstanden hast
Beispiel 2: start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction vereinfachen
Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner
Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten
Da die Division durch 0 nicht definiert ist, sehen wir hier, dass start color #11accd, x, does not equal, minus, 2, end color #11accd und start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 3, end color #aa87ff.
Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen
Beachte, dass Zähler und Nenner den gemeinsamen Faktor start color #01a995, x, plus, 3, end color #01a995 haben. Dieser kann gekürzt werden.
Schritt 4: Endgültige Antwort
Wir schreiben die vereinfachte Form wie folgt:
start fraction, x, minus, 3, divided by, x, plus, 2, end fraction für x, does not equal, minus, 3
Der ursprüngliche Ausdruck setzt voraus, dass x, does not equal, minus, 2, comma, minus, 3. Wir brauchen nicht zu notieren, dass x, does not equal, minus, 2, da dies aus dem Ausdruck erkennbar wird.
Überprüfe, ob du es verstanden hast
Was kommt als nächstes?
Du kannst zu unserem weiterführender Artikel über die Vereinfachung von rationalen Ausdrücken weitergehen, wo du mehr Beispiele mit schwierigeren Fällen siehst.
Willst du an der Diskussion teilnehmen?
Noch keine Beiträge.