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Algebra 2
Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 6
Lektion 1: Vereinfachen von rationalen Ausdrücken- Einführung in die Vereinfachung von rationalen Ausdrücken
- Einführung in rationale Ausdrücke
- Einführung in die Vereinfachung von rationalen Ausdrücken
- Rationale Ausdrücke vereinfachen: gemeinsame monomiale Faktoren
- Rationale Ausdrücke vereinfachen: Gemeinsame Monom-Faktoren
- Rationale Ausdrücke vereinfachen: gemeinsame binomiale Faktoren
- Rationale Ausdrücke vereinfachen: gegenüberliegende, gemeinsame binomiale Faktoren
- Rationale Ausdrücke vereinfachen (fortgeschritten)
- Vereinfache rationale Ausdrücke: gemeinsame binomiale Faktoren
- Rationale Ausdrücke vereinfachen: Gruppieren
- Rationale Ausdrücke vereinfachen: höhergradige Terme
- Rationale Ausdrücke vereinfachen (fortgeschritten)
- Rationale Ausdrücke vereinfachen (altes Video)
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Einführung in die Vereinfachung von rationalen Ausdrücken
Erfahre, was es bedeutet, einen rationalen Ausdruck zu vereinfachen, und wie es gemacht wird!
Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest
Ein rationaler Ausdruck ist ein Verhältnis von zwei Polynomen. Der Definitionsbereich eines rationalen Ausdrucks sind alle reellen Zahlen, mit Ausnahme derjenigen, die den Nenner gleich Null machen.
Zum Beispiel ist der Definitionsbereich des rationalen Ausdrucks alle reellen Zahlen außer oder .
Wenn dies neu für dich ist, empfehlen wir dir, unsere Einführung zu rationalen Ausdrücken anzuschauen.
Du solltest für diese Lektion auch wissen, wie du Polynome faktorisierst.
Was du in dieser Lektion lernst
In diesem Artikel werden wir lernen, rationale Ausdrücke zu vereinfachen, indem wir uns einige Beispiele ansehen.
Einführung
Ein rationaler Ausdruck wird als vereinfacht betrachtet, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Faktoren haben.
Wir können rationalen Ausdrücke in der gleichen Weise vereinfachen, wie wir numerische Brüche vereinfachen.
Die vereinfachte Version von ist beispielsweise . Beachte, wie wir den gemeinsamen Faktor aus dem Zähler und dem Nenner gekürzt haben:
Beispiel 1: vereinfachen
Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner
Der einzige Weg, um zu sehen, ob Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren haben, ist, sie zu faktorisieren!
Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten
An dieser Stelle ist es hilfreich, die Einschränkungen fürzu beachten. Diese werden auf den vereinfachten Ausdruck übertragen.
Da die Division durchnicht definiert ist, sehen wir hier, dass und .
Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen
Beachte nun, dass Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor vonhaben. Dieser kann gekürzt werden.
Schritt 4: Endgültige Antwort
Erinnere dich daran, dass der ursprüngliche Ausdruck fürdefiniert ist. Der vereinfachte Ausdruck muss dieselben Einschränkungen haben.
Deswegen müssen wir notieren, dass. Wir brauchen nicht zu notieren, dass , da dies aus dem Ausdruck erkennbar ist.
Abschließend wird die vereinfachte Form wie folgt geschrieben:
für
Ein Hinweis über äquivalente Ausdrücke
Ursprünglicher Ausdruck | Vereinfachter Ausdruck | |
---|---|---|
Die beiden obigen Ausdrücke sind äquivalent. Dies bedeutet, dass ihre Ausgabewerte für alle möglichen -Werte gleich sind. Die folgende Tabelle veranschaulicht dies für .
| Ursprünglicher Ausdruck | | Vereinfachter Ausdruck
: - | : - | : - | : -
Bewertung bei | | |
Hinweis | Das Ergebnis wird vereinfacht, indem der gemeinsame Faktor gekürzt wird. | | Das Ergebnis ist bereits vereinfacht, da der Faktor in diesem Fall bereits während des Vereinfachungsprozesses gekürzt wurde.
Aus diesem Grund haben die beiden Ausdrücke den gleichen Wert für dieselbe Eingabewerte. Die Werte, die den ursprünglichen Ausdruck undefiniert machen, verletzen jedoch häufig diese Regel. Beachte, wie dies bei der Fall ist.
| Ursprünglicher Ausdruck | | Vereinfachter Ausdruck (ohne Einschränkung)
: - | : - | : - | : -
Bewertung bei | | |
Da die beiden Ausdrücke für alle möglichen Eingaben äquivalent sein müssen, müssen wir für den vereinfachten Ausdruck voraussetzen.
Warnung: Typisches Missverständnis
Beachte, dass wir die im folgenden Ausdruck nicht kürzen können. Dies liegt daran, dass dies eher Terme und nicht Faktoren der Polynome sind!
Dies wird deutlich, wenn man sich ein numerisches Beispiel anschaut. Angenommen z.B., dass .
In der Regel können wir nur kürzen, wenn Zähler und Nenner in der faktorisierten Form sind!
Zusammenfassung des Vereinfachungsprozesses
- Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und den Nenner.
- Schritt 2: Liste die eingeschränkten Werte auf.
- Schritt 3: Kürze gemeinsame Faktoren.
- Schritt 4: Vereinfache und notiere alle eingeschränkten Werte, die nicht durch den Ausdruck vorausgesetzt werden.
Überprüfe, ob du es verstanden hast
Beispiel 2: vereinfachen
Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner
Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten
Da die Division durchnicht definiert ist, sehen wir hier, dass und .
Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen
Beachte, dass Zähler und Nenner den gemeinsamen Faktorhaben. Dieser kann gekürzt werden.
Schritt 4: Endgültige Antwort
Wir schreiben die vereinfachte Form wie folgt:
für
Der ursprüngliche Ausdruck setzt voraus, dass. Wir brauchen nicht zu notieren, dass , da dies aus dem Ausdruck erkennbar wird.
Überprüfe, ob du es verstanden hast
Was kommt als nächstes?
Du kannst zu unserem weiterführender Artikel über die Vereinfachung von rationalen Ausdrücken weitergehen, wo du mehr Beispiele mit schwierigeren Fällen siehst.
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