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Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 6

Lektion 1: Vereinfachen von rationalen Ausdrücken
Mathematik
Algebra 2
Rationale Beziehungen
Vereinfachen von rationalen Ausdrücken
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Einführung in die Vereinfachung von rationalen Ausdrücken

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Erfahre, was es bedeutet, einen rationalen Ausdruck zu vereinfachen, und wie es gemacht wird!

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Ein rationaler Ausdruck ist ein Verhältnis von zwei Polynomen. Der Definitionsbereich eines rationalen Ausdrucks sind alle reellen Zahlen, mit Ausnahme derjenigen, die den Nenner gleich Null machen.
Zum Beispiel ist der Definitionsbereich des rationalen Ausdrucks start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction alle reellen Zahlen außer start text, negative, 1, end text oder x, does not equal, minus, 1.
Wenn dies neu für dich ist, empfehlen wir dir, unsere Einführung zu rationalen Ausdrücken anzuschauen.
Du solltest für diese Lektion auch wissen, wie du Polynome faktorisierst.

Was du in dieser Lektion lernst

In diesem Artikel werden wir lernen, rationale Ausdrücke zu vereinfachen, indem wir uns einige Beispiele ansehen.

Einführung

Ein rationaler Ausdruck wird als vereinfacht betrachtet, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Faktoren haben.
Wir können rationalen Ausdrücke in der gleichen Weise vereinfachen, wie wir numerische Brüche vereinfachen.
Die vereinfachte Version von start fraction, 6, divided by, 8, end fraction ist beispielsweise start fraction, 3, divided by, 4, end fraction. Beachte, wie wir den gemeinsamen Faktor 2 aus dem Zähler und dem Nenner gekürzt haben:
68=2⋅32⋅4Faktor=2⋅32⋅4Eliminiere gemeinsame Faktoren=34Vereinfache\begin{aligned} \dfrac68&= \dfrac{2\cdot 3}{2\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Faktor}}} \\\\ &= \dfrac{\tealD{\cancel{2}}\cdot 3}{\tealD{\cancel{2}}\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Eliminiere gemeinsame Faktoren}}} \\ \\ &= \dfrac{3}{4} &&\small{\gray{\text{Vereinfache}}} \end{aligned}

Beispiel 1: start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction vereinfachen

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner
Der einzige Weg, um zu sehen, ob Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren haben, ist, sie zu faktorisieren!
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction, equals, start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end fraction
Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten
An dieser Stelle ist es hilfreich, die Einschränkungen für x zu beachten. Diese werden auf den vereinfachten Ausdruck übertragen.
Da die Division durch 0 nicht definiert ist, sehen wir hier, dass start color #11accd, x, does not equal, 0, end color #11accd und start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 5, end color #aa87ff.
start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #11accd, x, end color #11accd, start color #aa87ff, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end color #aa87ff, end fraction
Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen
Beachte nun, dass Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor von x haben. Dieser kann gekürzt werden.
x(x+3)x(x+5)=x(x+3)x(x+5)=x+3x+5\begin{aligned}\dfrac{\tealD x(x+3)}{\tealD x(x+5)}&=\dfrac{\tealD {\cancel {x}}(x+3)}{\tealD{\cancel x}(x+5)}\\ \\ &=\dfrac{x+3}{x+5} \end{aligned}
Schritt 4: Endgültige Antwort
Erinnere dich daran, dass der ursprüngliche Ausdruck für x, does not equal, 0, comma, minus, 5 definiert ist. Der vereinfachte Ausdruck muss dieselben Einschränkungen haben.
Deswegen müssen wir notieren, dass x, does not equal, 0. Wir brauchen nicht zu notieren, dass x, does not equal, minus, 5, da dies aus dem Ausdruck erkennbar ist.
Abschließend wird die vereinfachte Form wie folgt geschrieben:
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction für x, does not equal, 0

Ein Hinweis über äquivalente Ausdrücke

Ursprünglicher Ausdruck\quadVereinfachter Ausdruck
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction\quadstart fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction für x, does not equal, 0
Die beiden obigen Ausdrücke sind äquivalent. Dies bedeutet, dass ihre Ausgabewerte für alle möglichen x-Werte gleich sind. Die folgende Tabelle veranschaulicht dies für x, equals, 2.
| Ursprünglicher Ausdruck | \quad | Vereinfachter Ausdruck : - | : - | : - | : - Bewertung bei start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff | (2)2+3(2)(2)2+5(2)=1014=2⋅52⋅7=2⋅52⋅7=57\begin{aligned}\dfrac{(\purpleC{2})^2+3(\purpleC{2})}{(\purpleC{2})^2+5(\purpleC{2})}&=\dfrac{10}{14}\\\\&=\dfrac{\purpleC{{2}}\cdot 5}{\purpleC{{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{\purpleC{\cancel{2}}\cdot 5}{\purpleC{\cancel{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{5}{7}\end{aligned} | |2+32+5=57=57=57=57\begin{aligned}\dfrac{\purpleC{2}+3}{\purpleC{2}+5}&=\dfrac{5}{7}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\end{aligned} Hinweis | Das Ergebnis wird vereinfacht, indem der gemeinsame Faktor start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff gekürzt wird. | | Das Ergebnis ist bereits vereinfacht, da der Faktor x left parenthesisin diesem Fall start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff, right parenthesis bereits während des Vereinfachungsprozesses gekürzt wurde.
Aus diesem Grund haben die beiden Ausdrücke den gleichen Wert für dieselbe Eingabewerte. Die Werte, die den ursprünglichen Ausdruck undefiniert machen, verletzen jedoch häufig diese Regel. Beachte, wie dies bei start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff der Fall ist.
| Ursprünglicher Ausdruck | \quad | Vereinfachter Ausdruck (ohne Einschränkung) : - | : - | : - | : - Bewertung bei start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff | (0)2+3(0)(0)2+5(0)=00=nicht definiert\begin{aligned}\dfrac{(\purpleC{0})^2+3(\purpleC{0})}{(\purpleC{0})^2+5(\purpleC{0})}&=\dfrac{0}{0}\\\\&=\text{nicht definiert}\end{aligned} | | 0+30+5=35nicht definiert\begin{aligned}\dfrac{\purpleC{0}+3}{\purpleC{0}+5}&=\dfrac{3}{5}\\\\\\\\&\phantom{\text{nicht definiert}}\end{aligned}
Da die beiden Ausdrücke für alle möglichen Eingaben äquivalent sein müssen, müssen wir x, does not equal, 0 für den vereinfachten Ausdruck voraussetzen.

Warnung: Typisches Missverständnis

Beachte, dass wir die x im folgenden Ausdruck nicht kürzen können. Dies liegt daran, dass dies eher Terme und nicht Faktoren der Polynome sind!
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10 space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
Dies wird deutlich, wenn man sich ein numerisches Beispiel anschaut. Angenommen z.B., dass start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff.
start fraction, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 3, divided by, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
In der Regel können wir nur kürzen, wenn Zähler und Nenner in der faktorisierten Form sind!

Zusammenfassung des Vereinfachungsprozesses

  • Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und den Nenner.
  • Schritt 2: Liste die eingeschränkten Werte auf.
  • Schritt 3: Kürze gemeinsame Faktoren.
  • Schritt 4: Vereinfache und notiere alle eingeschränkten Werte, die nicht durch den Ausdruck vorausgesetzt werden.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) Vereinfache start fraction, 6, x, plus, 20, divided by, 2, x, plus, 10, end fraction.
Wähle eine Lösung.

2) Vereinfache start fraction, x, cubed, minus, 3, x, squared, divided by, 4, x, squared, minus, 5, x, end fraction.
für x, does not equal
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Beispiel 2: start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction vereinfachen

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner
start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction
Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten
Da die Division durch 0 nicht definiert ist, sehen wir hier, dass start color #11accd, x, does not equal, minus, 2, end color #11accd und start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 3, end color #aa87ff.
start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #11accd, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end color #11accd, start color #aa87ff, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color #aa87ff, end fraction
Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen
Beachte, dass Zähler und Nenner den gemeinsamen Faktor start color #01a995, x, plus, 3, end color #01a995 haben. Dieser kann gekürzt werden.
(x−3)(x+3)(x+2)(x+3)=(x−3)(x+3)(x+2)(x+3)=x−3x+2\begin{aligned}\dfrac{(x-3)\tealD{(x+3)}}{(x+2)\tealD{(x+3)}}&=\dfrac{(x-3)\tealD{\cancel{(x+3)}}}{(x+2)\tealD{\cancel{(x+3)}}}\\ \\ &=\dfrac{x-3}{x+2} \end{aligned}
Schritt 4: Endgültige Antwort
Wir schreiben die vereinfachte Form wie folgt:
start fraction, x, minus, 3, divided by, x, plus, 2, end fraction für x, does not equal, minus, 3
Der ursprüngliche Ausdruck setzt voraus, dass x, does not equal, minus, 2, comma, minus, 3. Wir brauchen nicht zu notieren, dass x, does not equal, minus, 2, da dies aus dem Ausdruck erkennbar wird.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

3) Vereinfache start fraction, x, squared, minus, 3, x, plus, 2, divided by, x, squared, minus, 1, end fraction.
Wähle eine Lösung.

4) Vereinfache start fraction, x, squared, minus, 2, x, minus, 15, divided by, x, squared, plus, x, minus, 6, end fraction.
für x, does not equal
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Was kommt als nächstes?

Du kannst zu unserem weiterführender Artikel über die Vereinfachung von rationalen Ausdrücken weitergehen, wo du mehr Beispiele mit schwierigeren Fällen siehst.

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