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Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 6

Lektion 1: Vereinfachen von rationalen Ausdrücken

Einführung in die Vereinfachung von rationalen Ausdrücken

Erfahre, was es bedeutet, einen rationalen Ausdruck zu vereinfachen, und wie es gemacht wird!

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Ein rationaler Ausdruck ist ein Verhältnis von zwei Polynomen. Der Definitionsbereich eines rationalen Ausdrucks sind alle reellen Zahlen, mit Ausnahme derjenigen, die den Nenner gleich Null machen.

Zum Beispiel ist der Definitionsbereich des rationalen Ausdrucks

\frac{x + 2}{x + 1}

alle reellen Zahlen außer $-1$ ‍ oder

x \neq - 1

Wenn dies neu für dich ist, empfehlen wir dir, unsere Einführung zu rationalen Ausdrücken anzuschauen.

Du solltest für diese Lektion auch wissen, wie du Polynome faktorisierst.

Was du in dieser Lektion lernst

In diesem Artikel werden wir lernen, rationale Ausdrücke zu vereinfachen, indem wir uns einige Beispiele ansehen.

Einführung

Ein rationaler Ausdruck wird als vereinfacht betrachtet, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Faktoren haben.

Wir können rationalen Ausdrücke in der gleichen Weise vereinfachen, wie wir numerische Brüche vereinfachen.

Die vereinfachte Version von

\frac{6}{8}

ist beispielsweise

\frac{3}{4}

. Beachte, wie wir den gemeinsamen Faktor

2

aus dem Zähler und dem Nenner gekürzt haben:

$\begin{aligned} \frac{6}{8} & = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} & Faktor \\ = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} & Eliminiere gemeinsame Faktoren \\ = \frac{3}{4} & Vereinfache \end{aligned}$ ‍

Beispiel 1: $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍ vereinfachen

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner

Der einzige Weg, um zu sehen, ob Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren haben, ist, sie zu faktorisieren!

$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x} = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}$ ‍

Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten

An dieser Stelle ist es hilfreich, die Einschränkungen für $x$ ‍ zu beachten. Diese werden auf den vereinfachten Ausdruck übertragen.

Da die Division durch $0$ ‍ nicht definiert ist, sehen wir hier, dass $x \neq 0$ ‍ und $x \neq - 5$ ‍.

$\frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}$ ‍

Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen

Beachte nun, dass Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor von $x$ ‍ haben. Dieser kann gekürzt werden.

$\begin{aligned} \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} & = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} \\ = \frac{x + 3}{x + 5} \end{aligned}$ ‍

Schritt 4: Endgültige Antwort

Erinnere dich daran, dass der ursprüngliche Ausdruck für $x \neq 0, - 5$ ‍ definiert ist. Der vereinfachte Ausdruck muss dieselben Einschränkungen haben.

Deswegen müssen wir notieren, dass $x \neq 0$ ‍. Wir brauchen nicht zu notieren, dass $x \neq - 5$ ‍, da dies aus dem Ausdruck erkennbar ist.
Ursprünglicher Term:
$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x} = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}$ ‍
Vereinfachter Ausdruck:
$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍
Beachte, wie $x = - 5$ ‍ beide Nenner zu $0$ ‍ macht und daher keine gültiger Eingabewert ist. Dies wird jedoch von jedem Ausdruck vorausgesetzt.
Wenn wir dagegen $x \neq 0$ ‍ für den vereinfachten Ausdruck nicht angegeben haben, wäre $x = 0$ ‍ eine gültige Eingabe, da $\frac{0 + 3}{0 + 5} = \frac{3}{5}$ ‍.
Da der bei $x = 0$ ‍ berechnete Ausdruck nicht definiert sein sollte (siehe Originalausdruck), müssen wir ihn von dem Definitionsbereich ausschließen.

Abschließend wird die vereinfachte Form wie folgt geschrieben:

$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍ für $x \neq 0$ ‍

Ein Hinweis über äquivalente Ausdrücke

Ursprünglicher Ausdruck	‍	Vereinfachter Ausdruck
$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍	‍	$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍ für $x \neq 0$ ‍

Die beiden obigen Ausdrücke sind äquivalent. Dies bedeutet, dass ihre Ausgabewerte für alle möglichen

x

-Werte gleich sind. Die folgende Tabelle veranschaulicht dies für

x = 2

| Ursprünglicher Ausdruck |

| Vereinfachter Ausdruck : - | : - | : - | : - Bewertung bei

x = 2

\begin{aligned} \frac{(2)^{2} + 3 (2)}{(2)^{2} + 5 (2)} & = \frac{10}{14} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{5}{7} \end{aligned}

| |

\begin{aligned} \frac{2 + 3}{2 + 5} & = \frac{5}{7} \end{aligned}

Hinweis | Das Ergebnis wird vereinfacht, indem der gemeinsame Faktor

2

gekürzt wird. | | Das Ergebnis ist bereits vereinfacht, da der Faktor

x

(

in diesem Fall

x = 2)

bereits während des Vereinfachungsprozesses gekürzt wurde.

Aus diesem Grund haben die beiden Ausdrücke den gleichen Wert für dieselbe Eingabewerte. Die Werte, die den ursprünglichen Ausdruck undefiniert machen, verletzen jedoch häufig diese Regel. Beachte, wie dies bei

x = 0

der Fall ist.

| Ursprünglicher Ausdruck |

| Vereinfachter Ausdruck (ohne Einschränkung) : - | : - | : - | : - Bewertung bei

x = 0

\begin{aligned} \frac{(0)^{2} + 3 (0)}{(0)^{2} + 5 (0)} & = \frac{0}{0} \\ = nicht definiert \end{aligned}

| |

\begin{aligned} \frac{0 + 3}{0 + 5} & = \frac{3}{5} \end{aligned}

Da die beiden Ausdrücke für alle möglichen Eingaben äquivalent sein müssen, müssen wir

x \neq 0

für den vereinfachten Ausdruck voraussetzen.

Warnung: Typisches Missverständnis

Beachte, dass wir die

x

im folgenden Ausdruck nicht kürzen können. Dies liegt daran, dass dies eher Terme und nicht Faktoren der Polynome sind!

$\frac{x + 3}{x + 5} \neq$ ‍ $\frac{3}{5}$ ‍

Dies wird deutlich, wenn man sich ein numerisches Beispiel anschaut. Angenommen z.B., dass

x = 2

$\frac{2 + 3}{2 + 5} \neq$ ‍ $\frac{3}{5}$ ‍

In der Regel können wir nur kürzen, wenn Zähler und Nenner in der faktorisierten Form sind!

Zusammenfassung des Vereinfachungsprozesses

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und den Nenner.
Schritt 2: Liste die eingeschränkten Werte auf.
Schritt 3: Kürze gemeinsame Faktoren.
Schritt 4: Vereinfache und notiere alle eingeschränkten Werte, die nicht durch den Ausdruck vorausgesetzt werden.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) Vereinfache $\frac{6 x + 20}{2 x + 10}$ ‍.

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner

$\frac{6 x + 20}{2 x + 10} = \frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)}$ ‍

Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten

Hier sehen wir, dass $x \neq - 5$ ‍.

$\frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)}$ ‍

Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen

$\begin{aligned} \frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)} & = \frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)} \\ = \frac{3 x + 10}{x + 5} \end{aligned}$ ‍

Schritt 4: Endgültige Antwort

Wir schreiben die vereinfachte Form wie folgt:

$\frac{3 x + 10}{x + 5}$ ‍

Der ursprüngliche Ausdruck erfordert $x \neq - 5$ ‍. Der vereinfachte Ausdruck erfordert auch $x \neq - 5$ ‍. Wir müssen keine zusätzlichen Werte einschränken.

2) Vereinfache $\frac{x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{2} - 5 x}$ ‍.

für

x \neq

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner

$\frac{x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{2} - 5 x} = \frac{x^{2} (x - 3)}{x (4 x - 5)}$ ‍

Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten

Hier sehen wir, dass $x \neq 0$ ‍ und $x \neq \frac{5}{4}$ ‍.

$\frac{x^{2} (x - 3)}{x (4 x - 5)}$ ‍

Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen

$\begin{aligned} \frac{x^{2} (x - 3)}{x (4 x - 5)} & = \frac{x \cdot x (x - 3)}{x (4 x - 5)} \\ = \frac{x \cdot x (x - 3)}{x (4 x - 5)} \\ = \frac{x (x - 3)}{4 x - 5} \end{aligned}$ ‍

Schritt 4: Endgültige Antwort

Wir schreiben die vereinfachte Form wie folgt:

$\frac{x (x - 3)}{4 x - 5}$ ‍ für $x \neq 0$ ‍

Der ursprüngliche Ausdruck erfordert $x \neq 0, \frac{5}{4}$ ‍. Wir brauchen nicht zu notieren, dass $x \neq \frac{5}{4}$ ‍ ist, da dies aus dem Ausdruck erkennbar wird.

Beispiel 2: $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6}$ ‍ vereinfachen

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$ ‍

Um den Zähler zu faktorisieren, können wir die 3. Binomische Formel verwenden:

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ ‍

Wir haben also Folgendes:

$\begin{aligned} x^{2} - 9 & = x^{2} - 3^{2} \\ = (x + 3) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

Wir können den Nenner mit der 1. Binomischen Formel faktorisieren.

$(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$ ‍

x^{2} + 5 x + 6

zu faktorisieren, können wir die Faktoren von

6

finden, die sich zu

5

summieren. Da

2 \cdot 3 = 6

und

2 + 3 = 5

werden die Polynome zu

(x + 2) (x + 3)

faktorisiert.

Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten

Da die Division durch $0$ ‍ nicht definiert ist, sehen wir hier, dass $x \neq - 2$ ‍ und $x \neq - 3$ ‍.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$ ‍

Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen

Beachte, dass Zähler und Nenner den gemeinsamen Faktor $x + 3$ ‍ haben. Dieser kann gekürzt werden.

$\begin{aligned} \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} & = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} \\ = \frac{x - 3}{x + 2} \end{aligned}$ ‍

Schritt 4: Endgültige Antwort

Wir schreiben die vereinfachte Form wie folgt:

$\frac{x - 3}{x + 2}$ ‍ für $x \neq - 3$ ‍

Der ursprüngliche Ausdruck setzt voraus, dass $x \neq - 2, - 3$ ‍. Wir brauchen nicht zu notieren, dass $x \neq - 2$ ‍, da dies aus dem Ausdruck erkennbar wird.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

3) Vereinfache $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1}$ ‍.

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner

$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1} = \frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ ‍

Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten

Hier sehen wir, dass $x \neq - 1$ ‍ und $x \neq 1$ ‍.

$\frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ ‍

Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen

$\begin{aligned} \frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} & = \frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} \\ = \frac{x - 2}{x + 1} \end{aligned}$ ‍

Schritt 4: Endgültige Antwort

Wir schreiben die vereinfachte Form wie folgt:

$\frac{x - 2}{x + 1}$ ‍ für $x \neq 1$ ‍

Der ursprüngliche Ausdruck erfordert $x \neq \pm 1$ ‍. Wir brauchen nicht zu notieren, dass $x \neq - 1$ ‍ ist, da dies aus dem Ausdruck erkennbar wird.

4) Vereinfache $\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x^{2} + x - 6}$ ‍.

für

x \neq

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner

$\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x^{2} + x - 6} = \frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)}$ ‍

Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten

Hier sehen wir, dass $x \neq - 3$ ‍ und $x \neq 2$ ‍.

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)}$ ‍

Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen

$\begin{aligned} \frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} & = \frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{x - 5}{x - 2} \end{aligned}$ ‍

Schritt 4: Endgültige Antwort

Wir schreiben die vereinfachte Form wie folgt:

$\frac{x - 5}{x - 2}$ ‍ für $x \neq - 3$ ‍

Der ursprüngliche Ausdruck erfordert $x \neq - 3, 2$ ‍. Wir brauchen nicht zu notieren, dass $x \neq 2$ ‍ ist, da dies aus dem Ausdruck erkennbar wird.

Was kommt als nächstes?

Du kannst zu unserem weiterführender Artikel über die Vereinfachung von rationalen Ausdrücken weitergehen, wo du mehr Beispiele mit schwierigeren Fällen siehst.

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Einführung

Beispiel 1: x2+3xx2+5x‍ vereinfachen

Ein Hinweis über äquivalente Ausdrücke

Warnung: Typisches Missverständnis

Zusammenfassung des Vereinfachungsprozesses

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Beispiel 2: x2−9x2+5x+6‍ vereinfachen

Überprüfe, ob du es verstanden hast

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Beispiel 1: $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍ vereinfachen

Beispiel 2: $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6}$ ‍ vereinfachen