Einführung in rationale Ausdrücke (Artikel)

Was du in dieser Lektion lernst

Diese Lektion macht dich mit rationalen Ausdrücken vertraut. Du erfährst, wie du feststellen kannst, wann ein rationaler Ausdrücken nicht definiert ist und wie sein Definitionsbereich zu bestimmen ist.

Was ist ein rationaler Ausdruck?

Ein Polynom ist ein Ausdruck, der aus einer Summe von Termen besteht, die ganzzahlige Potenzen von

x

enthalten, wie

3 x^{2} - 6 x - 1

Ein rationaler Ausdruck ist einfach ein Quotient von zwei Polynomen. Oder mit anderen Worten, es ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind.

Das sind Beispiele für rationale Ausdrücke:

$\frac{1}{x}$ ‍, $\frac{x + 5}{x^{2} - 4 x + 4}$ ‍, $\frac{x (x + 1) (2 x - 3)}{x - 6}$ ‍

Beachte, dass der Zähler eine Konstante sein kann und dass die Polynome unterschiedliche Grade haben können und in mehreren Formen vorliegen können.

Rationale Ausdrücke und undefinierte Werte

Betrachte den rationalen Ausdruck

\frac{2 x + 3}{x - 2}

Wir können den Wert dieses Ausdrucks für spezielle

x

-Werte bestimmen. Wir wollen zum Beispiel den Ausdruck bei

x = 1

auswerten.

$\begin{aligned} \frac{2 (1) + 3}{1 - 2} & = \frac{5}{- 1} \\ = - 5 \end{aligned}$ ‍

Daraus sehen wir, dass der Wert des Ausdrucks bei

x = 1

- 5

ist.

Jetzt wollen wir den Wert des Ausdrucks bei

x = 2

bestimmen.

$\begin{aligned} \frac{2 (2) + 3}{2 - 2} & = \frac{7}{0} \\ = nicht definiert! \end{aligned}$ ‍

Eine Eingabe von

2

ergibt den Nenner

0

. Da die Division durch

0

nicht definiert ist, ist

x = 2

keine mögliche Eingabe für diesen Ausdruck!

Definitionsbereich rationaler Ausdrücke

Der Wertebereich eines beliebigen Ausdrucks ist die Menge aller möglichen Eingabewerte.

Im Fall rationaler Ausdrücke können wir einen beliebigen Wert eingeben, außer diejenigen, die den Nenner gleich

0

setzen (da die Division durch

0

nicht definiert ist).

Mit anderen Worten, der Definitionsbereich eines rationalen Ausdrucks enthält alle reellen Zahlen mit Ausnahme derjenigen, die den Nenner zu Null machen.

Beispiel: Bestimmen des Definitionsbereichs von $\frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍

Wir wollen die Nullstellen des Nenners finden und diese Werte dann einschränken:

$\begin{aligned} (x - 3) (x + 4) = 0 \\ x - 3 = 0 oder x + 4 = 0 & Null-Produktregel \\ x = 3 oder x = - 4 & Löse nach x auf \end{aligned}$ ‍

Daher schreiben wir, dass der Definitionsbereich alle reellen Zahlen außer $3$ ‍ und $-4$ ‍ ist oder einfach

x \neq 3, - 4

Überprüfe dein Verständnis

1) Was ist der Definitionsbereich von $\frac{x + 1}{x - 7}$ ‍?

[Ich benötige Hilfe!]

2) Was ist der Definitionsbereich von $\frac{3 x - 7}{2 x + 1}$ ‍?

[Ich benötige Hilfe!]

3) Was ist der Definitionsbereich von $\frac{2 x - 3}{x (x + 1)}$ ‍?

[Ich benötige Hilfe!]

Challenge Aufgaben

4*) Was ist der Definitionsbereich von $\frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 8}$ ‍?

[Ich benötige Hilfe!]

5*) Was ist der Definitionsbereich von $\frac{x + 2}{x^{2} + 4}$ ‍?

[Ich benötige Hilfe!]

Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 6

Einführung in rationale Ausdrücke

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Was ist ein rationaler Ausdruck?

Rationale Ausdrücke und undefinierte Werte

Definitionsbereich rationaler Ausdrücke

Beispiel: Bestimmen des Definitionsbereichs von $\frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍

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Definitionsbereich rationaler Ausdrücke

Beispiel: Bestimmen des Definitionsbereichs von x+1(x−3)(x+4)‍

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Beispiel: Bestimmen des Definitionsbereichs von $\frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍