Erfahre, welche rationalen Ausdrücke es gibt und für Werte sie nicht definiert sind.

Was du in dieser Lektion lernen wirst

Diese Lektion macht dich mit rationalen Ausdrücken vertraut. Du erfährst, wie du feststellen kannst, wann ein rationaler Ausdrücken nicht definiert ist und wie sein Definitionsbereich zu bestimmen ist.

Was ist ein rationaler Ausdruck?

Ein Polynom ist ein Ausdruck, der aus einer Summe von Termen besteht, die ganzzahlige Potenzen von xx enthalten, wie 3x26x13x^2-6x-1.
Ein rationaler Ausdruck ist einfach ein Quotient von zwei Polynomen. Oder mit anderen Worten, es ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind.
Das sind Beispiele für rationale Ausdrücke:
1x\dfrac{1}{x}, x+5x24x+4\quad\dfrac{x+5}{x^2-4x+4}, x(x+1)(2x3)x6\quad\dfrac{x(x+1)(2x-3)}{x-6}
Beachte, dass der Zähler eine Konstante sein kann und dass die Polynome unterschiedliche Grade haben können und in mehreren Formen vorliegen können.

Rationale Ausdrücke und undefinierte Werte

Betrachte den rationalen Ausdruck 2x+3x2\dfrac{2x+3}{x-2}.
Wir können den Wert dieses Ausdrucks für spezielle xx-Werte bestimmen. Wir wollen zum Beispiel den Ausdruck bei x=1\blueD{x}=\blueD1 auswerten.
2(1)+312=  51=5\begin{aligned}\dfrac{2(\blueD{1})+3}{\blueD1-2} &= \dfrac{~~5}{-1}\\ \\ &= \goldD{-5} \\ \end{aligned}
Daraus sehen wir, dass der Wert des Ausdrucks bei x=1\blueD{x}=\blueD{1} 5\goldD{-5} ist.
Jetzt wollen wir den Wert des Ausdrucks bei x=2\blueD{x}=\blueD{2} bestimmen.
2(2)+322=70=nicht definiert!\begin{aligned}\dfrac{2(\blueD{2})+3}{\blueD2-2} &= \dfrac{7}{0}\\ \\ &=\goldD{\text{nicht definiert!}} \\ \end{aligned}
Eine Eingabe von 22 ergibt den Nenner 00. Da die Division durch 00 nicht definiert ist, ist x=2\blueD x=\blueD 2 keine mögliche Eingabe für diesen Ausdruck!

Definitionsbereich rationaler Ausdrücke

Der Wertebereich eines beliebigen Ausdrucks ist die Menge aller möglichen Eingabewerte.
Im Fall rationaler Ausdrücke können wir einen beliebigen Wert eingeben, außer diejenigen, die den Nenner gleich 00 setzen (da die Division durch 00 nicht definiert ist).
Mit anderen Worten, der Definitionsbereich eines rationalen Ausdrucks enthält alle reellen Zahlen mit Ausnahme derjenigen, die den Nenner zu Null machen.

Beispiel: Bestimmen des Definitionsbereichs von x+1(x3)(x+4)\dfrac{x+1}{(x-3)(x+4)}

Wir wollen die Nullstellen des Nenners finden und diese Werte dann einschränken:
(x3)(x+4)=0x3=0oderx+4=0Null-Produktregelx=3oderx=4Lse nach  aufo¨x\begin{aligned} &(x-3)(x+4)= 0 \\\\ &x-3=0 \quad \text{oder} \quad x+4=0 &&\small{\gray{\text{Null-Produktregel}}}\\\\ &x = 3 \quad\text{oder} \quad x=-4 &&\small{\gray{\text{Löse nach $x $ auf}}}\end{aligned}
Daher schreiben wir, dass der Definitionsbereich alle reellen Zahlen außer 3\textit 3 und -4\textit{-4} ist oder einfach x3,4x\neq 3, -4.

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