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Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 6

Lektion 1: Vereinfachen von rationalen Ausdrücken
Mathematik
Algebra 2
Rationale Beziehungen
Vereinfachen von rationalen Ausdrücken
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Einführung in rationale Ausdrücke

Google Classroom
Erfahre, welche rationalen Ausdrücke es gibt und für Werte sie nicht definiert sind.

Was du in dieser Lektion lernst

Diese Lektion macht dich mit rationalen Ausdrücken vertraut. Du erfährst, wie du feststellen kannst, wann ein rationaler Ausdrücken nicht definiert ist und wie sein Definitionsbereich zu bestimmen ist.

Was ist ein rationaler Ausdruck?

Ein Polynom ist ein Ausdruck, der aus einer Summe von Termen besteht, die ganzzahlige Potenzen von x enthalten, wie 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 1.
Ein rationaler Ausdruck ist einfach ein Quotient von zwei Polynomen. Oder mit anderen Worten, es ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind.
Das sind Beispiele für rationale Ausdrücke:
start fraction, 1, divided by, x, end fraction, start fraction, x, plus, 5, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 4, end fraction, start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 3, right parenthesis, divided by, x, minus, 6, end fraction
Beachte, dass der Zähler eine Konstante sein kann und dass die Polynome unterschiedliche Grade haben können und in mehreren Formen vorliegen können.

Rationale Ausdrücke und undefinierte Werte

Betrachte den rationalen Ausdruck start fraction, 2, x, plus, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction.
Wir können den Wert dieses Ausdrucks für spezielle x-Werte bestimmen. Wir wollen zum Beispiel den Ausdruck bei start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd auswerten.
2(1)+31−2=  5−1=−5\begin{aligned}\dfrac{2(\blueD{1})+3}{\blueD1-2} &= \dfrac{~~5}{-1}\\ \\ &= \goldD{-5} \\ \end{aligned}
Daraus sehen wir, dass der Wert des Ausdrucks bei start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10 ist.
Jetzt wollen wir den Wert des Ausdrucks bei start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd bestimmen.
2(2)+32−2=70=nicht definiert!\begin{aligned}\dfrac{2(\blueD{2})+3}{\blueD2-2} &= \dfrac{7}{0}\\ \\ &=\goldD{\text{nicht definiert!}} \\ \end{aligned}
Eine Eingabe von 2 ergibt den Nenner 0. Da die Division durch 0 nicht definiert ist, ist start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd keine mögliche Eingabe für diesen Ausdruck!

Definitionsbereich rationaler Ausdrücke

Der Wertebereich eines beliebigen Ausdrucks ist die Menge aller möglichen Eingabewerte.
Im Fall rationaler Ausdrücke können wir einen beliebigen Wert eingeben, außer diejenigen, die den Nenner gleich 0 setzen (da die Division durch 0 nicht definiert ist).
Mit anderen Worten, der Definitionsbereich eines rationalen Ausdrucks enthält alle reellen Zahlen mit Ausnahme derjenigen, die den Nenner zu Null machen.

Beispiel: Bestimmen des Definitionsbereichs von start fraction, x, plus, 1, divided by, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, end fraction

Wir wollen die Nullstellen des Nenners finden und diese Werte dann einschränken:
(x−3)(x+4)=0x−3=0oderx+4=0Null-Produktregelx=3oderx=−4Lo¨se nach x auf\begin{aligned} &(x-3)(x+4)= 0 \\\\ &x-3=0 \quad \text{oder} \quad x+4=0 &&\small{\gray{\text{Null-Produktregel}}}\\\\ &x = 3 \quad\text{oder} \quad x=-4 &&\small{\gray{\text{Löse nach $x $ auf}}}\end{aligned}
Daher schreiben wir, dass der Definitionsbereich alle reellen Zahlen außer start text, 3, end text und start text, negative, 4, end text ist oder einfach x, does not equal, 3, comma, minus, 4.

Überprüfe dein Verständnis

1) Was ist der Definitionsbereich von start fraction, x, plus, 1, divided by, x, minus, 7, end fraction?
Wähle eine Lösung.

2) Was ist der Definitionsbereich von start fraction, 3, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 1, end fraction?
Wähle eine Lösung.

3) Was ist der Definitionsbereich von start fraction, 2, x, minus, 3, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction?
Wähle eine Lösung.

Challenge Aufgaben

4*) Was ist der Definitionsbereich von start fraction, x, minus, 3, divided by, x, squared, minus, 2, x, minus, 8, end fraction?
Wähle eine Lösung.

5*) Was ist der Definitionsbereich von start fraction, x, plus, 2, divided by, x, squared, plus, 4, end fraction?
Wähle eine Lösung.

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