Multiplizieren und Dividieren rationaler Ausdrücke: Monome

Wir multiplizieren hier oben zwei rationale Ausdrücke. Und unten dividieren wir zwei rationale Ausdrücke. Ich ermutige dich, das Video zu pausieren und darüber nachzudenken, was du als Ergebnis erhältst, wenn du diese beiden multiplizierst, und sie vereinfachst. Denk auch darüber nach, wie du die x-Werte beschränken musst, damit der Ausdruck am Ende algebraisch gleichwertig zum ursprünglichen Ausdruck ist. Wir lösen die Aufgabe jetzt gemeinsam, damit du verstehst, wovon ich spreche. Wir rechnen im Zähler 6x³ ⋅ 2, und im Nenner 5 ⋅ 3x. Wir sehen, dass sowohl Zähler als auch Nenner durch x teilbar sind, also dividieren wir den Nenner durch x und erhalten 1. Jetzt dividieren wir x³ durch x. Wir erhalten x². Wir sehen außerdem, dass Zähler und Nenner durch 3 teilbar sind, also dividieren wir 6 durch 3 und erhalten 2. Wir dividieren 3 durch 3 und erhalten 1. Übrig bleibt 2x² ⋅ 2, was 4x² ergibt. Im Nenner haben wir 5 ⋅ 1 ⋅ 1, also 5. Das können wir auch als 4/5 x² schreiben. Jetzt ist die Frage, für welche x-Werte der Ausdruck 4/5 x² definiert ist. Ich kann hier jeden x-Wert einsetzen. x könnte 0 sein, da 0² ⋅ 4/5 = 0 ist, also ist dieser Ausdruck für 0 definiert. Wie musst du aber die x-Werte beschränken, damit dieser Ausdruck algebraisch gleichwertig zum ersten Ausdruck ist? Dieser erste Ausdruck ist nicht für alle x-Werte definiert. z.B. wenn x = 0 wäre, dann müsstest du hier durch 0 dividieren, und dann wäre dieser Ausdruck nicht definiert. Du kannst also eindeutig sagen, dass x nicht 0 sein darf. Wenn du also willst, dass es algebraisch gleichwertig ist, müsstest du dieselbe Beschränkung, dass x ≠ 0 ist, angeben. Anders betrachtet: Wenn du eine Funktion hättest, die als f(x) = (6x³ / 5) ⋅ (2 / 3x) definiert wäre, und jemand fragen würde, was f(0) ergibt, würdest du antworten, dass f(0) nicht definiert ist. Warum? Wenn du x = 0 hier einsetzt, erhältst du 2 / 0 und das ist nicht definiert. Aber was ist, wenn du das etwas vereinfachst, um die exakt selbe Funktion zu erhalten? Du kannst sagen, dass f(x) = 4/5 x² ist. Aber wenn du das so stehen lässt, würdest du f(0) = 0 erhalten. Jetzt wäre sie also für 0 definiert und dadurch eine andere Funktion. Es handelt sich um zwei verschiedene Funktionen, so wie sie hier drüben geschrieben sind. Um stattdessen deutlich zu machen, dass beide gleichwertig sind, musst du festlegen, dass x ≠ 0 ist. Jetzt sind beide Funktionen gleichwertig, da du jetzt bei f(0) sagen würdest, dass x nicht 0 sein darf. Das wäre der Fall, wenn x irgendetwas anderes als 0 wäre, und sie ist nicht für 0 definiert, und deshalb sagst du, dass f(0) nicht definiert ist. Jetzt sind diese beiden Funktionen bzw. Ausdrücke algebraisch gleichwertig. Jetzt machen wir mit dieser Division weiter. Zu Beginn fragst du dich, welche Beschränkungen wir hier haben. x ≠ 0, da bei x = 0 der Term 5x⁴/4 = 0 wäre, und du durch 0 dividieren würdest. Wir können also sagen, dass x ≠ 0 ist. Und wenn x ≠ 0 im ursprünglichen Ausdruck ist, dann müssen wir bei dem Ausdruck, den wir als Ergebnis erhalten, damit beide algebraisch gleichwertig sind, dieselbe Beschränkung angeben. Wir führen jetzt also die Division durch. Dividieren ist dasselbe wie 2x⁴/7 mit dem Kehrwert zu multiplizieren. Der Kehrwert ist 4/(5x⁴). Im Zähler haben wir dann 8x⁴. 4 ⋅ 2x⁴ = 8x⁴. Im Nenner haben wir 7 ⋅ 5x⁴, was 35x⁴ ergibt. Jetzt können wir etwas vereinfachen, da Zähler und Nenner beide durch x⁴ teilbar sind. Wir dividieren also durch x⁴ und erhalten 8/35. Du schaust dir 8/35 an und siehst, dass es für alle x-Werte definiert ist, da x nicht einmal Teil des Ausdrucks ist. Aber wenn wir wollen, dass er dem ersten Ausdruck algebraisch gleichwertig ist, dann müssen wir dieselbe Beschränkung dazuschreiben: dass x nicht gleich 0 sein darf. Es scheint ein wenig sinnlos zu sein, zu sagen, dass x nicht gleich 0 sein darf, bei einem Ausdruck, der kein x enthält. Aber stell dir vor dieser ganze Ausdruck wäre eine Funktion g(x). Dann wäre g(0) nicht definiert. Aber wenn du sagst, dass g(x) = 8/35 ist, dann wäre g(0) = 8/35 und somit definiert, und dadurch wäre es eine andere Funktion. Damit sie algebraisch gleichwertig sind, könntest du sagen, dass g(x) = 8/35 ist, solange x ≠ 0 ist. Und du könntest sagen, dass sie für x = 0 nicht definiert ist. Du musst die zweite Zeile aber nicht dazuschreiben, da sie für x = 0 einfach nicht definiert wäre. Aber jetzt ist dieser algebraische Ausdruck mit unserem ursprünglichen gleichwertig, obwohl wir ihn vereinfacht haben.