Rationale Ausdrücke dividieren

Wir sollen einen rationalen Ausdruck dividieren, vereinfacht ausdrücken, und den Definitionsbereich angeben. Wir beginnen mit diesem Ausdruck. Es ist ein rationaler Ausdruck, der durch einen weiteren rationalen Ausdruck dividiert wird. Und wir kennen es bereits, dass diese rationalen Ausdrücke nicht definiert sind, wenn ihre Nenner gleich 0 sind. p + 5 darf also nicht 0 ergeben. Wenn wir von beiden Seiten 5 subtrahieren, erhältst du p ≠ -5. Das sagt uns dieser Term. Hier drüben gilt dasselbe. 4p + 20 darf ebenfalls nicht 0 ergeben. Denn sonst wäre dieser Ausdruck nicht definiert. Subtrahiere 20 von beiden Seiten. 4p ≠ -20. Dividiere beide Seiten durch 4. p ≠ -5. In beiden Situationen würde also p = -5 dazu führen, dass beide rationale Ausdrücke nicht definiert wären. Der Definitionsbereich beinhaltet also alle reellen p-Werte außer -5. Wir haben den Definitionsbereich angegeben. Jetzt vereinfachen wir den Ausdruck. Wenn du durch einen Bruch oder einen rationalen Ausdruck dividierst, ist es dasselbe, wie mit dem Kehrwert zu multiplizieren. Ich schreibe den Ausdruck nochmal auf. (2p + 6) / (p + 5) ÷ (10) / (4p + 20). Diese Rechnung ist genau dieselbe, wenn wir mit dem Kehrwert, also (4p + 20) / 10 multiplizieren. Ich habe die Division in eine Multiplikation umgewandelt und den Kehrwert hiervon genommen. Wir haben also (2p + 6) ⋅ (4p + 20) im Zähler. Ich schreibe das nochmal auf. (2p + 6)(4p + 20) im Zähler. (p + 5) ⋅ 10 im Nenner. Um herauszufinden, ob wir hier vereinfachen können, müssen wir alle Terme im Zähler und Nenner faktorisieren. Bei (2p + 6) können wir eine 2 ausklammern. (2p + 6) können wir also als 2(p + 3) schreiben. (4p + 20) können wir auch umschreiben. Wir klammern eine 4 aus und haben dann 4(p + 5). Dann haben wir noch (p + 5) im Nenner. Wir schreiben es einfach in den Nenner. (p + 5). Selbst bei der 10 können wir noch ausklammern bzw. sie in ihre Primfaktoren zerlegen. Wir können die 10 in 2 ⋅ 5 zerlegen. Das ist dasselbe wie 10. Schauen wir mal, was wir vereinfachen können. Wir müssen natürlich die ganze Zeit die Beschränkung angeben, dass p ≠ -5 ist. Wir müssen den Definitionsbereich beschränken, damit es sich um denselben Ausdruck handelt, wie der, mit dem wir begonnen haben. Was können wir wegkürzen? Wir haben 2 dividiert durch 2. Sie kürzen sich weg. Wir haben ein (p + 5) dividiert durch noch ein (p + 5). Wir wissen, dass p + 5 ≠ 0 ist, da wir diese Beschränkung haben, also können wir das wegkürzen. Was bleibt übrig? Im Zähler haben wir 4(p + 3). Und im Nenner haben wir diese grüne 5 und das war's. Wir könnten es auch als 4/5(p + 3) schreiben oder es einfach so lassen. Wir müssen aber daran denken, die Beschränkung anzugeben, dass p ≠ -5 ist, damit diese beiden Ausdrücke mathematisch gleichwertig sind.