Rationale Ausdrücke multiplizieren

Multipliziere und stelle das Ergebnis als vereinfachten rationalen Ausdruck dar. Gib den Definitionsbereich an. Wir multiplizieren also, und schauen uns dann vor dem Vereinfachen den Definitionsbereich an. Im Zähler multiplizieren wir (a² - 4) mit (a + 1). Im Nenner multiplizieren wir (a² - 1) mit (a + 2). (a² - 4) und (a² - 1) kommen dir wahrscheinlich bekannt vor. Sie sind eine Differenz in Quadraten, eine spezielle Art von Binom, das du hoffentlich direkt erkennst. Es hat die Form (a² - b²) und ist eine Differenz von Quadraten, und es ergibt immer (a + b) ⋅ (a - b). Wir können also (a² - 4) und (a² - 1) faktorisieren, und das hilft uns dabei, den rationalen Ausdruck zu vereinfachen. Im oberen Teil können wir (a² - 4) als (a + 2) faktorisieren, da 2² = 4 ergibt. Das wird mit (a - 2) und (a + 1) multipliziert. Im Nenner können wir (a² - 1) faktorisieren, und erhalten (a + 1)(a - 1). Falls du dich fragst, wieso das funktioniert, multipliziere es einfach aus und du siehst, dass du durch Multiplikation dieser zwei Terme das hier erhältst. Im Nenner haben wir jetzt ebenfalls ein (a + 2). Wir haben multipliziert und wir haben im Zähler und im Nenner faktorisiert. Wir ordnen es etwas um. Wir schreiben (a + 2) sowohl im Zähler als auch im Nenner ganz nach vorne. Wir schreiben also zuerst (a + 2) im Zähler, und im Nenner haben wir ebenfalls (a + 2). Wir haben ein (a + 1) im Zähler, und wir haben ein (a + 1) im Nenner. Im Zähler haben wir ein (a - 2) und im Nenner haben wir ein (a - 1). Ich habe nur die Reihenfolge im Zähler und Nenner geändert, und falls es gleiche Ausdrücke in beiden gab, habe ich sie direkt übereinander geschrieben. Bevor wir vereinfachen, sollten wir über den Definitionsbereich nachdenken. Welche a-Werte sind nicht im Definitionsbereich, da sie dazu führen würden, dass dieser Ausdruck nicht definiert ist? Die a-Werte die wir suchen, sorgen dafür, dass der Nenner 0 ergibt. Ein a-Wert, der dafür sorgt, dass der Nenner 0 ergibt, ist a = -2. Du könntest es auflösen. Du könntest a + 2 = 0 rechnen. Das Ergebnis ist a = -2. a + 1 = 0. Subtrahiere 1 von beiden Seiten: a = -1. a - 1 = 0. Addiere 1 zu beiden Seiten und du erhältst a = 1. Für diesen Ausdruck musst du die Beschränkung hinzufügen, dass a nicht -2, -1 oder 1 sein darf. a darf jede reelle Zahl außer diesen Zahlen sein. Wir geben unseren Definitionsbereich an. Unser Definitionsbereich besteht aus allen möglichen a-Werten, außer diesen drei Werten, also müssen wir die Werte beschränken. Jetzt können wir weiter vereinfachen. Wir haben hier (a + 2) im Zähler und Nenner. Wir wissen, dass a ≠ -2 ist, also ist dieser Term immer definiert. Wenn du einen Term durch sich selbst teilst, ergibt das immer nur 1. Dasselbe gilt bei (a + 1) / (a + 1). Es ergibt 1. Übrig bleibt nur (a - 2) / (a - 1). Unser vereinfachter rationaler Ausdruck lautet also (a - 2) / (a - 1), mit der Beschränkung, dass a ≠ -2, -1, 1 ist. Du fragst dich vielleicht, warum es ein Problem wäre, wenn hier z.B. a = -1 wäre. Wenn du -1 - 1 rechnest, ergibt das doch -2. Also ist es doch definiert. Aber damit dieser Ausdruck wirklich mit diesem hier oben gleichwertig ist, müssen dieselben Beschränkungen bestehen. Sie müssen denselben Definitionsbereich haben. Er kann nicht für -1 definiert sein, wenn dieser Ausdruck nicht für -1 definiert ist. Diese Beschränkungen stellen sicher, dass wir es mit demselben Ausdruck zu tun haben, und nicht nur mit einem, der ähnlich ist.