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Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 6

Lektion 2: Rationale Ausdrücke multiplizieren und dividieren
Mathematik
Algebra 2
Rationale Beziehungen
Rationale Ausdrücke multiplizieren und dividieren
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Rationale Ausdrücke multiplizieren

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Erfahre, wie man das Produkt zweier rationaler Ausdrücke ermittelt.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Ein rationaler Ausdruck ist ein Verhältnis von zwei Polynomen. Der Definitionsbereich eines rationalen Ausdrucks enthält alle reellen Zahlen mit Ausnahme derjenigen, deren Nenner gleich Null ist.
Wir können rationalen Ausdrücke vereinfachen, indem wir gemeinsame Faktoren im Zähler und im Nenner kürzen.
Wenn dir das nicht bekannt ist, solltest du zuerst die folgenden Artikel lesen:

Was du in dieser Lektion lernst

In dieser Lektion lernst du, wie rationale Ausdrücke multipliziert werden.

Brüche multiplizieren

Um zu beginnen, wollen wir uns daran erinnern, wie man numerische Brüche multipliziert.
Betrachte dieses Beispiel:
=34⋅109=32⋅2⋅2⋅53⋅3Faktorisiere Za¨hler und Nenner=32⋅2⋅2⋅53⋅3Gemeinsame Faktoren lku¨rzen=56Multipliziere\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{10}{9}\\\\ &=\dfrac{\greenD3}{\blueD2\cdot 2}\cdot \dfrac{\blueD2\cdot 5}{\greenD3\cdot 3} &&\small{\gray{\text{Faktorisiere Zähler und Nenner}}} \\\\ &=\dfrac{\greenD{\cancel{3}}}{\blueD{\cancel{2}}\cdot 2}\cdot \dfrac{\blueD{\cancel{2}}\cdot 5}{\greenD{\cancel{3}}\cdot 3}&&\small{\gray{\text{Gemeinsame Faktoren lkürzen}}} \\\\ &=\dfrac{5}{6}&&\small{\gray{\text{Multipliziere}}} \end{aligned}
Um zwei numerische Brüche zu multiplizieren, faktorisierten wir, kürzten gemeinsame Faktoren und multiplizierten.

Beispiel 1: start fraction, 3, x, squared, divided by, 2, end fraction, dot, start fraction, 2, divided by, 9, x, end fraction

Wir können rationale Ausdrücke auf die gleiche Weise multiplizieren, wie wir numerische Brüche multiplizieren.
=3x22⋅29x=3⋅x⋅x2⋅23⋅3⋅xFaktorisiere Za¨hler und Nenner(Hinweisx≠0)=3⋅x⋅x2⋅23⋅3⋅xGemeinsame Faktoren ku¨rzen=x3Multipliziere\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3x^2}{2}\cdot\dfrac{2}{9x}\\\\\\ &=\dfrac{3\cdot x\cdot x}{2}\cdot \dfrac{2}{3\cdot 3\cdot \goldD x}&& \small{\gray{\text{Faktorisiere Zähler und Nenner}}}\\ \\ &\quad \small{(\text{Hinweis} \goldD{x\neq 0})}\\ \\ \\&=\dfrac{\blueD{\cancel{3}}\cdot \greenD{\cancel{ x}}\cdot x}{\purpleC{\cancel{2}}}\cdot \dfrac{\purpleC{\cancel{2}}}{\blueD{\cancel{ 3}}\cdot 3\cdot \greenD{\cancel{ x}}}&& \small{\gray{\text{Gemeinsame Faktoren kürzen}}} \\ \\ &=\dfrac{x}{3}&&\small{\gray{\text{Multipliziere}}} \end{aligned}
Erinnere dich, dass der ursprüngliche Ausdruck für x, does not equal, 0 definiert ist. Das vereinfachte Produkt muss die gleichen Einschränkungen haben. Aus diesem Grund müssen wir notieren, dass x, does not equal, 0.
Wir schreiben das vereinfachte Produkt wie folgt:
start fraction, x, divided by, 3, end fraction für x, does not equal, 0

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) Multipliziere und vereinfache das Ergebnis.
start fraction, 4, x, start superscript, 6, end superscript, divided by, 5, end fraction, dot, start fraction, 1, divided by, 12, x, cubed, end fraction, equals
für x, does not equal
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Beispiel 2: start fraction, x, squared, minus, x, minus, 6, divided by, 5, x, plus, 5, end fraction, dot, start fraction, 5, divided by, x, minus, 3, end fraction

Noch einmal, wir faktorisieren, kürzen alle gemeinsamen Faktoren und multiplizieren dann. Schließlich achten wir darauf, alle eingeschränkten Werte zu notieren.
=x2−x−65x+5⋅5x−3=(x−3)(x+2)5⋅(x+1)⋅5x−3Faktorisiere(Hinweis x≠−1, und x≠3)=(x−3)(x+2)5⋅(x+1)⋅5x−3Gemeinsame Faktoren ku¨rzen=x+2x+1Multipliziere\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x^2-x-6}{5x+5}\cdot\dfrac {5}{x-3}\\\\\\ &=\dfrac{(x-3)(x+2)}{5\cdot \goldD{(x+1)}}\cdot \dfrac{5}{\maroonD{x-3}}&&\small{\gray{\text{Faktorisiere}}}\\ \\ &\quad \small{(\text{Hinweis }\goldD{x\neq -1}}, \text{ und }\maroonD{x\neq 3} )\\ \\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{(x-3)}}{(x+2)}}{\greenD{\cancel{5}}\cdot({x+1})}\cdot \dfrac{{\greenD{\cancel{5}}}}{\blueD{\cancel{x-3}}}&&\small{\gray{\text{Gemeinsame Faktoren kürzen}}}\\ \\ &=\dfrac{x+2}{x+1}&&\small{\gray{\text{Multipliziere}}} \end{aligned}
Der ursprüngliche Ausdruck ist für x, does not equal, minus, 1, comma, 3 definiert. Das vereinfachte Produkt muss dieselben Einschränkungen haben.
Im Allgemeinen ist das Produkt zweier rationaler Ausdrücke für jeden Wert undefiniert, der einen der ursprünglichen rationalen Ausdrücke undefiniert macht.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

2) Multipliziere und vereinfache das Ergebnis.
start fraction, 5, x, cubed, divided by, 5, x, plus, 10, end fraction, dot, start fraction, x, squared, minus, 4, divided by, x, squared, end fraction, equals
Welche Beschränkungen gelten für den Definitionsbereich des resultierenden Terms?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

3) Multipliziere und vereinfache das Ergebnis.
start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, minus, 2, x, minus, 8, end fraction, dot, start fraction, x, minus, 4, divided by, x, minus, 3, end fraction, equals
Welche Beschränkungen gelten für den Definitionsbereich des resultierenden Terms?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Was kommt als nächstes?

Wenn du mit deinen Multiplikationskenntnissen zufrieden bist, kannst du mit Rationale Ausdrücke dividieren weitermachen.

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