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Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 6

Lektion 2: Rationale Ausdrücke multiplizieren und dividieren
Mathematik
Algebra 2
Rationale Beziehungen
Rationale Ausdrücke multiplizieren und dividieren
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Rationale Ausdrücke dividieren

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Erfahre, wie man den Quotienten zweier rationaler Ausdrücke ermittelt.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Ein rationaler Ausdruck ist ein Verhältnis von zwei Polynomen. Der Definitionsbereich eines rationalen Ausdrucks enthält alle reellen Zahlen mit Ausnahme derjenigen, deren Nenner gleich Null ist.
Wir können rationale Terme in der gleichen Weise multiplizieren, wie wir numerische Brüche multiplizieren - indem wir faktorisieren, gemeinsame Faktoren kürzen und miteinander multiplizieren.
Wenn dir das nicht bekannt ist, solltest du zuerst die folgenden Artikel lesen:

Was du in dieser Lektion lernst

In dieser Lektion lernst du, rationale Terme zu dividieren.

Teilen von Brüchen

Um zwei numerische Brüche zu dividieren, multiplizieren wir den Dividenden (den ersten Bruch) mit dem Kehrwert des Divisors (der zweite Bruch). Ein Beispiel:
=29:83=29⋅38Multipliziere mit dem Kehrwert=23⋅3⋅32⋅4Faktorisere Za¨hler und Nenner=23⋅3⋅32⋅4Ku¨rze gemeinsame Faktoren=112Multipliziere miteinander\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{9}\mathbin{:}{\dfrac{8}{3}}\\\\\\ &=\dfrac{2}{9}\cdot {\dfrac{3}{8}}&&\small{\gray{\text{Multipliziere mit dem Kehrwert}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD2}{\greenD3\cdot 3}\cdot \dfrac{\greenD3}{\blueD2\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Faktorisere Zähler und Nenner}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{2}}}{\greenD{\cancel{3}}\cdot 3}\cdot \dfrac{\greenD{\cancel{3}}}{\blueD{\cancel{2}}\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Kürze gemeinsame Faktoren}}}\\\\ &=\dfrac{1}{12}&&\small{\gray{\text{Multipliziere miteinander}}} \end{aligned}
Wir können diese Methode auch verwenden, um rationale Ausdrücke zu dividieren.

Beispiel 1: start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction, colon, start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction

=3x44:9x10=3x44⋅109xMultipliziere mit dem Kehrwert=3⋅x⋅x32⋅2⋅2⋅53⋅3⋅xFaktorisere Za¨hler und Nenner=3⋅x⋅x32⋅2⋅2⋅53⋅3⋅xKu¨rze gemeinsame Faktoren=5x36Multipliziere miteinander\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3x^4}{4}\mathbin{:}\dfrac{9x}{10}\\\\\\ &=\dfrac{3x^4}{4}\cdot \dfrac{10}{9x}&&\small{\gray{\text{Multipliziere mit dem Kehrwert}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD3\cdot \greenD{x}\cdot x^3}{\goldD2\cdot 2}\cdot \dfrac{\goldD 2\cdot 5}{\blueD3\cdot 3\cdot \greenD{x}}&&\small{\gray{\text{Faktorisere Zähler und Nenner}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{3}}\cdot \greenD{\cancel{x}}\cdot x^3}{\goldD{\cancel{2}}\cdot 2}\cdot \dfrac{\goldD{\cancel{2}}\cdot 5}{\blueD{\cancel{3}}\cdot 3\cdot \greenD{\cancel{x}}}&&\small{\gray{\text{Kürze gemeinsame Faktoren}}}\\\\ &=\dfrac{5x^3}{6}&&\small{\gray{\text{Multipliziere miteinander}}} \end{aligned}
Wie immer müssen wir über eingeschränkte Werte nachdenken. Beim Dividieren von zwei rationalen Ausdrücken ist der Quotient nicht definiert ...
  • für jeden Wert, der einen der ursprünglichen rationalen Ausdrücke undefiniert macht,
  • und für jeden Wert, der den Divisor gleich Null macht.
Zusammenfassend ist der Ausdruck, der das Ergebnis von start fraction, A, divided by, B, end fraction, colon, start fraction, C, divided by, D, end fraction ist, nicht definiert, wenn entweder B, equals, 0, C, equals, 0 oder D, equals, 0 ist.
Wir wollen den Dividend und den Divisor bei dieser Aufgabe untersuchen, um Definitionsbereichs-Beschränkungen zu bestimmen.
  • Der Dividend start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction ist für alle x-Werte definiert.
  • Der Divisor start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction ist für alle x-Werte definiert und für x, equals, 0 gleich Null.
Daraus können wir schließen, dass der resultierende Quotient für x, does not equal, 0 definiert ist. Das ist unsere endgültige Lösung:
start fraction, 5, x, cubed, divided by, 6, end fraction für x, does not equal, 0

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) Dividiere und vereinfache das Ergebnis.
start fraction, 3, divided by, 10, x, squared, end fraction, colon, start fraction, 6, divided by, 15, x, start superscript, 5, end superscript, end fraction, equals
für x, does not equal
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Beispiel 2: start fraction, x, squared, plus, x, minus, 6, divided by, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, end fraction, colon, start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction

Wie immer multiplizieren wir den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors. Dann faktorisieren wir, kürzen gemeinsame Faktoren und multiplizieren sie. Schließlich untersuchen wir nicht zugelassene Werte.
=x2+x−6x2+3x−10:x+3x−5=x2+x−6x2+3x−10⋅x−5x+3Multipliziere mit dem Kehrwert=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅x−5x+3Faktorisiere=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅(x−5)x+3Ku¨rze gemeinsame Faktoren=x−5x+5Multipliziere miteinander\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\mathbin{:} \dfrac{x+3}{x-5}\\\\\\ &=\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\cdot \dfrac{x-5}{x+3}&&\small{\gray{\text{Multipliziere mit dem Kehrwert}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD{(x+3)}\greenD{(x-2)}}{(x+5)\greenD{(x-2)}}\cdot \dfrac{x-5}{\blueD{x+3}}&&\small{\gray{\text{Faktorisiere}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{(x+3)}}\greenD{\cancel{(x-2)}}}{(x+5)\greenD{\cancel{(x-2)}}}\cdot \dfrac{(x-5)}{\blueD{\cancel{x+3}}}&&\small{\gray{\text{Kürze gemeinsame Faktoren}}}\\\\ &=\dfrac{x-5}{x+5}&&\small{\gray{\text{Multipliziere miteinander}}} \end{aligned}
Wir wollen den Dividend und den Divisor in dieser Aufgabe untersuchen, um Definitionsbereichs-Beschränkungen zu bestimmen. Es ist am einfachsten, die faktorisierte Form dieser Ausdrücke zu verwenden.
  • Der Dividend start fraction, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end fraction ist für x, does not equal, minus, 5, comma, 2 definiert.
  • Der Divisor start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction ist für x, does not equal, 5 definiert und für x, equals, minus, 3 gleich Null.
Daraus können wir schließen, dass der resultierende Quotient für x, does not equal, minus, 5, comma, minus, 3, comma, 2, comma, 5 definiert ist.
Aus diesem Grund müssen wir beachten, dass x, does not equal, 5, comma, 2, comma, minus, 3 ist. Wir brauchen nicht zu beachten, dass x, does not equal, minus, 5 ist, da wir dies aus dem Ausdruck erkennen. Das ist unsere endgültige Lösung:
start fraction, x, minus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction für x, does not equal, 5, comma, 2, comma, minus, 3

Überprüfe, ob du es verstanden hast

2) Dividiere und vereinfache das Ergebnis.
start fraction, x, minus, 7, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction, colon, start fraction, x, squared, minus, 6, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 4, end fraction, equals
Welche Einschränkungen gelten für den Definitionsbereich des resultierenden Ausdrucks?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

3) Dividiere und vereinfache das Ergebnis.
start fraction, x, plus, 4, divided by, x, squared, minus, 9, end fraction, colon, start fraction, x, minus, 1, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 3, end fraction, equals
Welche Einschränkungen gelten für den Definitionsbereich des resultierenden Ausdrucks?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

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