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Hauptinhalt

Rationale Ausdrücke dividieren

Erfahre, wie man den Quotienten zweier rationaler Ausdrücke ermittelt.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Ein rationaler Ausdruck ist ein Verhältnis von zwei Polynomen. Der Definitionsbereich eines rationalen Ausdrucks enthält alle reellen Zahlen mit Ausnahme derjenigen, deren Nenner gleich Null ist.
Wir können rationale Terme in der gleichen Weise multiplizieren, wie wir numerische Brüche multiplizieren - indem wir faktorisieren, gemeinsame Faktoren kürzen und miteinander multiplizieren.
Wenn dir das nicht bekannt ist, solltest du zuerst die folgenden Artikel lesen:

Was du in dieser Lektion lernst

In dieser Lektion lernst du, rationale Terme zu dividieren.

Teilen von Brüchen

Um zwei numerische Brüche zu dividieren, multiplizieren wir den Dividenden (den ersten Bruch) mit dem Kehrwert des Divisors (der zweite Bruch). Ein Beispiel:
=29:83=2938Multipliziere mit dem Kehrwert=233324Faktorisere Zähler und Nenner=233324Kürze gemeinsame Faktoren=112Multipliziere miteinander
Wir können diese Methode auch verwenden, um rationale Ausdrücke zu dividieren.

Beispiel 1: 3x44:9x10

=3x44:9x10=3x44109xMultipliziere mit dem Kehrwert=3xx3222533xFaktorisere Zähler und Nenner=3xx3222533xKürze gemeinsame Faktoren=5x36Multipliziere miteinander
Wie immer müssen wir über eingeschränkte Werte nachdenken. Beim Dividieren von zwei rationalen Ausdrücken ist der Quotient nicht definiert ...
  • für jeden Wert, der einen der ursprünglichen rationalen Ausdrücke undefiniert macht,
  • und für jeden Wert, der den Divisor gleich Null macht.
Zusammenfassend ist der Ausdruck, der das Ergebnis von AB:CD ist, nicht definiert, wenn entweder B=0, C=0 oder D=0 ist.
Wir wollen den Dividend und den Divisor bei dieser Aufgabe untersuchen, um Definitionsbereichs-Beschränkungen zu bestimmen.
  • Der Dividend 3x44 ist für alle x-Werte definiert.
  • Der Divisor 9x10 ist für alle x-Werte definiert und für x=0 gleich Null.
Daraus können wir schließen, dass der resultierende Quotient für x0 definiert ist. Das ist unsere endgültige Lösung:
5x36 für x0

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) Dividiere und vereinfache das Ergebnis.
310x2:615x5=
für x
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Beispiel 2: x2+x6x2+3x10:x+3x5

Wie immer multiplizieren wir den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors. Dann faktorisieren wir, kürzen gemeinsame Faktoren und multiplizieren sie. Schließlich untersuchen wir nicht zugelassene Werte.
=x2+x6x2+3x10:x+3x5=x2+x6x2+3x10x5x+3Multipliziere mit dem Kehrwert=(x+3)(x2)(x+5)(x2)x5x+3Faktorisiere=(x+3)(x2)(x+5)(x2)(x5)x+3Kürze gemeinsame Faktoren=x5x+5Multipliziere miteinander
Wir wollen den Dividend und den Divisor in dieser Aufgabe untersuchen, um Definitionsbereichs-Beschränkungen zu bestimmen. Es ist am einfachsten, die faktorisierte Form dieser Ausdrücke zu verwenden.
  • Der Dividend (x+3)(x2)(x+5)(x2) ist für x5,2 definiert.
  • Der Divisor x+3x5 ist für x5 definiert und für x=3 gleich Null.
Daraus können wir schließen, dass der resultierende Quotient für x5,3,2,5 definiert ist.
Aus diesem Grund müssen wir beachten, dass x5,2,3 ist. Wir brauchen nicht zu beachten, dass x5 ist, da wir dies aus dem Ausdruck erkennen. Das ist unsere endgültige Lösung:
x5x+5 für x5,2,3

Überprüfe, ob du es verstanden hast

2) Dividiere und vereinfache das Ergebnis.
x7x24:x26x72x+4=
Welche Einschränkungen gelten für den Definitionsbereich des resultierenden Ausdrucks?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

3) Dividiere und vereinfache das Ergebnis.
x+4x29:x1x24x+3=
Welche Einschränkungen gelten für den Definitionsbereich des resultierenden Ausdrucks?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

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