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Textaufgaben zu rationalen Gleichungen: kombinierte Raten (Beispiel 2)

Video-Transkript

Zusammen haben Anya und Bill eine große Veranda in 8 Stunden gebeizt. Letztes Jahr hat Anya die Veranda alleine gebeizt. Das Jahr davor hat Bill es alleine gebeizt, aber doppelt so lang gebraucht wie Anya. Wie lange haben Anya und Bill jeweils alleine für das Beizen der Veranda gebraucht? Wir definieren zuerst ein paar Variablen. Wir definieren A als die Anzahl der Stunden, die Anya zum Beizen der Veranda braucht. Anya braucht also A Stunden zum Beizen einer Veranda. Wir können es auch umdrehen und sagen, dass sie 1/A Veranda pro Stunde schafft. Jetzt stellen wir diese Variable für Bill auf. B ist die Anzahl der Stunden, die Bill braucht, um eine Veranda zu beizen. Bill braucht B Stunden für eine Veranda. Wir könnten eine 1 in den Nenner schreiben. Müssen wir aber nicht. Und das ist dasselbe, wie zu sagen, dass er 1 Veranda pro B Stunden schafft. Er schafft also 1/B Veranda pro Stunde. Wenn sie zusammen arbeiten, beizen Anya und Bill eine große Veranda in 8 Stunden. Ich schreibe es mal auf. Anya + Bill beizen eine große Veranda in 8 Stunden. Also haben wir 8 Stunden pro Veranda. Oder 8 Stunden pro 1 Veranda bzw. 1 Veranda pro 8 Stunden. Und das wird die Kombination ihrer beiden Raten. Wir setzen also diese 1 Veranda pro 8 Stunden mit Anyas Rate gleich, also 1/A Veranda pro Stunde und addieren Bills Rate, also + 1/B Veranda pro Stunde. Wir haben also eine Gleichung aufgestellt. Ich werde die Einheiten nicht mehr dazuschreiben. Wir haben 1/8 = 1/A + 1/B. Wir haben zwei Unbekannte, also brauchen wir eine weitere Gleichung, wenn wir diese hier lösen wollen. Hier steht, dass Bill alleine doppelt so lang wie Anya gebraucht hat. Also ist die Anzahl der Stunden, die Bill braucht, um die Veranda zu beizen doppelt so groß wie die Anzahl der Stunden, die Anya braucht, um die Veranda zu beizen. Also haben wir B = 2A. Die Anzahl der Stunden, die Bill braucht, ist doppelt so hoch wie die Anzahl der Stunden die Anya pro Veranda braucht. Also erhalten wir B = 2A. Wir können diese Gleichung also umschreiben. Wir schreiben 1/8 = 1/A, und anstatt + 1/B zu schreiben, ersetzen wir es durch 2A. Die Anzahl der Stunden, die Bill braucht, ist doppelt so hoch wie die Anzahl der Stunden die Anya braucht. Also 2 ⋅ A. Und jetzt haben wir eine Gleichung mit einer Unbekannten. Wir können jetzt nach A auflösen. Am einfachsten ist das, wenn wir einfach beide Seiten der Gleichung mit 2A multiplizieren. Also multiplizieren wir beide Seiten mit 2A. Warte, wir multiplizieren die linke Seite mit 8A, damit wir gleichzeitig 1/8 loswerden. Und dann multiplizieren wir die rechte Seite ebenfalls mit 8A. Links rechnen wir 8A/8 = A. Rechts rechnen wir 1/A ⋅ 8A = 8, 1/2A ⋅ 8A = 4. Wir haben also die Gleichung A = 8 + 4. Ich habe das A kleingeschrieben, es sollte aber groß geschrieben sein. Nochmal: Wir rechnen 8A/A = 8. 8A/2A = 4. Die Anzahl der Stunden, die Anya braucht, um eine Veranda zu beizen ist also 12. Wonach wird in der Aufgabe gefragt? Es wird gefragt, wie lange Anya und Bill jeweils alleine für das Beizen gebraucht haben. Wir wissen es bei Anya, sie braucht 12 Stunden. Und wir wissen, dass Bill doppelt so lang wie Anya braucht. B = 2A. Bill braucht also 2 ⋅ 12 Stunden, da er doppelt so lange wie Anya braucht. Das ergibt 24 Stunden. Alleine braucht Anya also 12 Stunden. Und Bill braucht alleine 24 Stunden. Zusammen brauchen sie 8 Stunden, was Sinn ergibt. Denn wenn Bill alleine 12 Stunden brauchen würde, dann würden sie zusammen 6 Stunden, also nur halb so lang brauchen. Bill ist aber nicht so effizient wie Anya, also brauchen sie ein bisschen länger, nämlich insgesamt 8 Stunden. Aber es ergibt Sinn, dass sie zusammen weniger Zeit brauchen, als es alleine der Fall wäre.