Grafische Darstellung rationaler Funktionen 1

Ich habe hier drüben den Graphen von f(x). In diesem Video möchte ich darüber nachdenken, ob wir den Graphen hätten zeichnen können, wenn wir uns nur die Definition unserer Funktion anschauen, die als ein rationaler Ausdruck definiert ist. Wir haben (2x + 10) / (5x - 15). Es gibt mehrere Lösungsansätze. Zuerst kannst du dir alle Zahlen heraussuchen, die sehr einfach zu berechnen sind. Was passiert zum Beispiel, wenn x = 0 ist? Wir rechnen also f(0). Alle x-Terme werden 0, also bleibt 10/-15 übrig, was -10/15 bzw. -2/3 ergibt. Das können wir einzeichnen. Wenn x = 0 ist, haben wir y = f(x) = -2/3. Wir sehen diesen Punkt direkt hier drüben. Wir hätten ihn also einzeichnen können. Wir könnten uns auch fragen, wann diese Funktion gleich 0 ergibt. Die Funktion wird nur gleich 0, wenn der Zähler gleich 0 wird, du könntest also versuchen, 2x + 10 = 0 zu lösen. Das passiert, wenn 2x = -10 ist. Ich habe 10 von beiden Seiten subtrahiert. Wenn ich beide Seiten durch 2 dividiere, erhalten wir x = -5. Das siehst du hier. Bei x = -5 schneidet die Funktion die x-Achse. Das sind nur zwei Punkte, und nicht genug, um diese interessante Form hier darzustellen. Du könntest darüber nachdenken, welche anderen Funktionen diese Form haben. Jetzt möchte ich über das Verhalten nachdenken, das die Funktion an verschiedenen Punkten hat. Zuerst möchte ich wissen, wann diese Funktion nicht definiert ist, und welches Verhalten wir von der Funktion erwarten können, wenn sie nicht definiert ist. Diese Funktion wird nicht definiert sein. Damit diese Funktion nicht definiert ist, muss ich den Nenner gleich 0 setzen. Wir wissen nicht, was es bedeutet, durch 0 zu dividieren. Es ist nicht definiert. Die Funktion ist also nicht definiert, wenn 5x - 15 = 0 ist. Ich addiere 15 zu beiden Seiten, und erhalte 5x = 15, und dividiere dann beide Seiten durch 5. f ist also nicht definiert, wenn x = 3 ist. Es gibt mehrere Arten, wie eine Funktion an einem Punkt nicht definiert sein kann. Du könntest so etwas haben. Ich zeichne ein paar Achsen. Sagen wir, hier ist die 3. Deine Funktion könnte so aussehen. Sie strebt gegen 3, ist aber direkt dort nicht definiert, und geht dann einfach weiter. Die andere Möglichkeit ist, dass sie dort eine vertikale Asymptote hat. Wenn sie eine vertikale Asymptote hat, sieht sie ungefähr so aus. Sie kann Richtung ∞ ansteigen, und von ∞ auf dieser Seite wieder herunterkommen, oder sie könnte von -∞ hier drüben anfangen. So würde eine vertikale Asymptote aussehen. Wenn wir uns von links nähern, strebt der Graph gegen eine Vertikale, erreicht aber nie ganz x = 3, was bedeutet, dass die Funktion für x = 3 nicht definiert ist. Wenn sie von rechts kommt, ist es dasselbe, nur dass die Funktion in diesem Fall fällt. Sie wird beinahe vertikal. Sie strebt gegen -∞, wenn x gegen 3 aus der positiven Richtung strebt. Wie finden wir das heraus? Wenn du den Graphen vorher kennst, denkst du vielleicht, dass es einfach ist. Das hier ist x = 10. Wir haben 1, 2, 3, 4, 5. Also steht jeder davon für 2, also ist x = 3 hier drüben. Wenn du dir den Graphen anschaust, würdest du sehen, dass du es tatsächlich mit einer vertikalen Asymptote zu tun hast. Nur durch das Anschauen weißt du, dass du eine vertikale Asymptote bei x = 3 hast. Aber woher wüsstest du das, wenn du den Graphen hier nicht hättest, sondern nur das hier? Wir wissen, dass sie für 3 nicht definiert ist, aber woher wissen wir, dass es keine Unstetigkeitsstelle, sondern eine vertikale Asymptote ist? Es gibt mehrere Möglichkeiten, das herauszufinden. Du könntest Werte in der Nähe von 3 ausprobieren, und schauen, was passiert. Du könntest z.B. deinen Taschenrechner benutzen, und den Wert 3,01 ausprobieren. Wenn du 2 ⋅ 3,01 + 10 rechnest, und das Ergebnis des Zählers durch 5 ⋅ 3,01 - 15 dividierst, erhalten wir eine recht große Zahl. Wenn wir noch näher herankommen, indem wir x = 3,001 einsetzen und (2 ⋅ 3,001 + 10) / (5 ⋅ 3,001 - 15) rechnen, erhalten wir eine noch größere Zahl. Je näher x also der 3 kommt, desto gewaltiger scheint f(x) anzuwachsen. Es scheint so, als strebe es gegen +∞. Das ist eine Art zu sagen, dass es zumindest von dieser Seite so aussieht, als würden wir gegen +∞ streben, also könnten wir so etwas zeichnen, und dann hättest du unten Werte ausprobieren können. Ich lasse mir die letzte Rechnung nochmal anzeigen, und setze statt 3,001 jetzt 2,999 ein. Jetzt haben wir ein stark negatives Ergebnis. Wir streben gegen -∞. Wenn du das ausprobierst, ist das ein ziemlich gutes Anzeichen dafür, dass der Graph ungefähr so wie hier aussieht. Das scheint auch zu den beiden verbundenen Punkten zu passen, über die wir bereits nachgedacht haben. Schauen wir jetzt, was passiert, wenn x gegen sehr hohe positive oder negative Werte strebt. Es sieht so aus, als wäre hier eine horizontale Asymptote. Nur durch das Anschauen des Graphs sehe ich, dass es einen Wert zu geben scheint, der, wenn x gegen sehr große positive Werte strebt, f(x) gegen diesen Wert strebt, also gegen die Asymptote von oben. Wenn x stark negativ wird, sieht es so aus, als würde f(x) sich von unten nähern. Aber wie findest du das nur durch das Anschauen der Funktion heraus? Du kannst dich z.B. fragen, was mit f(x) passiert, wenn x gegen ∞ strebt. Ich schreibe es auf. Wenn x gegen ∞ strebt, gegen was strebt dann f(x)? Wenn x gegen immer höhere Werte strebt, werden die +10 und die -15 immer unwichtiger. Der Wert höchsten Grades im Zähler und Nenner beginnt zu dominieren. Wenn x also gegen ∞ strebt, nähert sich f(x) immer mehr 2x/5x, was 2/5 ist. Du könntest sagen, dass f(x) gegen 2/5 strebt. Wenn du das etwas konkreter sehen willst, denken wir uns verschiedene x-Werte aus, während x immer größer wird. Wir haben eine Tabelle mit x und f(x). Wenn x = 1 ist, dann ist f(x) = (2 + 10) / (5 - 15). Hier sind die +10 und -15 ziemlich wichtig. Aber wenn x = 1000 wäre, dann wäre f(x) = (2000 + 10) / (5000 - 15). Die 2000 und die 5000 dominieren den Term. Und wenn x z.B. 1.000.000 wäre, dann wäre f(x) = (2.000.000 + 10) / (5.000.000 - 15) Hier sind die 10 und die 15 beinahe irrelevant. Und je größer der x-Wert wird, desto unwichtiger werden die +10 und die -15. Wenn x also gegen ∞ strebt, sind die hier unwichtig. Die Terme höchsten Grades sind wichtig, also strebt f(x) gegen 2x/5x bzw. 2/5. f(x) strebt also gegen 2/5, und so sieht diese Gerade aus. 2/5 ist dasselbe wie 0,4 und das sehen wir im Graphen. f(x) strebt dagegen, aber kommt nicht ganz an. Es kommt immer und immer näher, wenn x gegen ∞ strebt, aber es kommt nicht ganz dort an, weil du immer diese +10 und -15 dort haben wirst, und deshalb niemals exakt 2/5 erreichst. Dasselbe passiert wenn x immer stärker negativ wird. Du könntest all diese Werte in negative Werte ändern. Wenn das -1 wäre, dann wäre das hier -2, und das -5. Wenn das -1000 wäre, hätten wir -2000/-5000. Bei -1.000.000 hätten wir -2.000.000/-5.000.000. Aber selbst in diesen Fällen strebt f(x) gegen 2x/5x bzw. 2/5, oder du könntest sagen, dass es gegen -2/-5 strebt, was aber immer noch 2/5 ist, und das siehst du hier. Wir würden sagen, dass diese Funktion eine horizontale Asymptote an der Stelle y = 2/5 hat. Dieser Graph hilft uns hoffentlich dabei herauszufinden, worum es sich bei diesen vertikalen und horizontalen Asymptoten wirklich handelt. Aber wenn wir den Graph nicht hätten, wüssten wir, dass wir bei x = 3 nicht definiert sind. Dann könnten wir Werte in der Nähe testen, und sehen, dass wir gegen -∞ streben, wenn x von der linken Seite gegen -3 strebt. Und es sieht so aus, als würden wir gegen +∞ streben, wenn x von der rechten Seite gegen -3 strebt, also könnten wir den blauen Punkt hier einzeichnen. Wir könnten diese zwei Punkte einzeichnen. Wann ergibt f = 0? Was passiert mit f wenn x = 0 ist? Und dann könnten wir über das Verhalten nachdenken, wenn x gegen ±∞ strebt, und diese horizontale Asymptote zeichnen. Das wäre eine ziemlich gute Methode, um diesen Graphen zeichnen zu können.